可计算随机性

公平条件限制策略不能凭空产生期望资本。资本在一边增长，就必须在另一边支付代价。但一条固定序列若持续提供可预测的规律，策略可以沿着这条序列赚到任意多的钱。

“全可计算”要求策略对每个有限历史都有答案，包括实际上没有遇到的历史。允许策略在不喜欢的历史上不返回结果，会改变随机性概念；它不能把这些历史静默删除。

押首尾成对相同的结构 ​

从资本 $1$ 开始。每对中的第一位不下注，第二位把全部资本押在“与第一位相同”。若下一位预测为 $b$，规定 $d(\sigma b)=2d(\sigma )$、$d(\sigma (1-b))=0$；不下注时两个后继都等于当前资本。每个结点均满足公平等式。

沿 $X=00110011\cdots$，长度 $0,1,2,3,4,5,6$ 的资本依次为

该序列的 $0$、$1$ 频率相同，赌徒仍利用相邻位依赖无限致富。若在某次第二位猜错，资本归零后保持零；没有隐藏的重新注资。

为什么“押输就加倍”不是必胜证明 ​

连续加倍下注直到获胜，常被说成每轮必赚。有限本金下，足够长的连败会耗尽资本；允许负资本则违反非负赌徒的前提。忽略无限连败的单条路径，也不等于为算法随机性证明了所有路径上的合法策略。

随机性强度的证明接口 ​

初值为零的非负赌徒处处为零；正初值时除以这个可计算正实数，可把初值规范为 $1$ 而不改变成功路径。对规范化赌徒，枚举所有已由有理误差界证实 $d(\sigma )>2^k$ 的串，令 $U_k$ 为相应柱集之并。这统一给出有效开集，不必判定先前某个资本是否恰等于阈值。

仅在测度估计中，取每条越界路径的最短越界前缀。这些前缀形成前缀自由集；它本身不必由上述过程直接枚举。任一有限子集的资本加权和，可用公平等式延伸到共同深度，至多为根资本 $1$。再取有限部分和上确界，得到

资本无界的路径属于每个 $U_k$，所以 Martin-Löf 随机公理库Martin-Löf 随机性Martin-Löf randomness · 马丁–勒夫随机性以统一可枚举、概率预算趋于零的开集检验，定义单条无限比特序列的随机性，并构造通用检验。必然可计算随机。这个论证没有给出 $\mu (U_k)$ 的可计算误差界，不能直接宣称 $(U_k)$ 是 Schnorr 检验。

可计算随机性严格强于 Schnorr 随机性公理库Schnorr 随机性Schnorr randomness在有效开检验之外要求层测度统一可计算，明确这一预算信息如何改变随机性而不改变有限观察的局限。，严格弱于 Martin-Löf 随机性。[1, §10] 前一包含可由 Schnorr 的赌徒刻画读出：若某条序列被一个具有可计算成功速度的赌徒击败，它当然也被一个无界成功的可计算赌徒击败。逆否即得可计算随机蕴含 Schnorr 随机。两处严格性仍依赖分离定理；后一差别与可计算资本和仅能从下逼近的资本有关。

在公平币上做预测时，可计算赌徒提供一种检验语言；换成偏置源，公平等式也必须改成按该源概率加权。直接把公平币赌徒拿去评价偏置币，会把模型偏差误称为序列本身的异常。