酉算子的线性组合实现

形式陈述

取整数 $m\ge1$ ，所有 $U_j$ 作用于同一个非零有限维数据空间。设

A=\sum_{j=0}^{m-1}\alpha_jU_j,\qquad\alpha_j\ge0,\quad \alpha=\sum_j\alpha_j>0,

每个 $U_j$ 酉。给出以下相干接口：

\operatorname{PREP}|0^a\rangle= \sum_{j=0}^{m-1}\sqrt{\alpha_j/\alpha}|j\rangle, \qquad a=\lceil\log_2m\rceil,

以及 $\operatorname{SELECT}=\sum_j|j\rangle\langle j|\otimes U_j$ ，在未使用标签上可设为恒等。PREP是完整状态制备酉，并提供其逆。

酉线性组合方法（LCU）构造

W=(\operatorname{PREP}^\dagger\otimes I) \operatorname{SELECT}(\operatorname{PREP}\otimes I),

满足

(\langle0^a|\otimes I)W(|0^a\rangle\otimes I)=A/\alpha. \tag{1}

所以对输入 $|\psi\rangle$ ，测辅助全0的概率为

p_\psi=\frac{\|A|\psi\rangle\|^2}{\alpha^2},

在 $p_\psi>0$ 时，条件输出才是 $A|\psi\rangle/\|A|\psi\rangle\|$ 。这是一个带成功标志的构造，通常不是确定性地对任意态施加非酉 $A$ 。[1, §II；2, §4.3]

直觉

先用辅助标签相干选择不同的 $U_j$ ，再把标签重新干涉到零态。准备和逆准备各贡献一个系数平方根，两者相乘就得到 $\alpha_j/\alpha$ 。

辅助的其他结果收走剩余概率，使整个大电路保持酉性。非酉矩阵之所以能出现，是因为我们只看整个酉电路的一个测量分支，而没有让总量子演化违反范数守恒。

辅助先按权重1比2制备，经SELECT选择I或Z，再逆制备；零分支为I加2Z再除3，对加态的成功率为5/9，失败率为4/9。

例子与边界

三段电路直接推出矩阵块

按顺序作用于 $|0^a\rangle|\psi\rangle$ ，前两段给

\sum_j\sqrt{\alpha_j/\alpha}|j\rangle U_j|\psi\rangle.

最后投影辅助零态时，

\langle0^a|\operatorname{PREP}^\dagger|j\rangle =\sqrt{\alpha_j/\alpha},

所以留下 $\sum_j(\alpha_j/\alpha)U_j|\psi\rangle=A|\psi\rangle/\alpha$ 。这是一个对任意数据向量都成立的线性算子恒等式，也可张量上外部参考。

三角不等式给算子范数 $\|A\|\le\sum_j\alpha_j=\alpha$ ，所以成功概率确实不超过1。 $\alpha$ 可能比 $\|A\|$ 大得多；系数之间的抵消会降低成功概率。

A等于I加2Z的完整成功与失败分支

取 $U_0=I,U_1=Z$ 、 $\alpha_0=1,\alpha_1=2$ ，所以 $\alpha=3$ 。可用

B=\operatorname{PREP}= \begin{pmatrix}1/\sqrt3&-\sqrt{2/3}\\ \sqrt{2/3}&1/\sqrt3\end{pmatrix}, \qquad \operatorname{SELECT}=\begin{pmatrix}I&0\\0&Z\end{pmatrix}.

按辅助在前、数据在后的分块约定，直接相乘得到

W=\begin{pmatrix} (I+2Z)/3&\sqrt2(Z-I)/3\\ \sqrt2(Z-I)/3&(2I+Z)/3 \end{pmatrix}. \tag{2}

它是酉矩阵，因为由三个酉因子构成。对 $|\psi\rangle=|+\rangle$ ，输出为

|0\rangle\frac{3|0\rangle-|1\rangle}{3\sqrt2} -|1\rangle\frac23|1\rangle.

所以成功概率 $p=10/18=5/9$ ，归一化成功态为

\frac{3|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{10}}.

失败概率为 $4/9$ ，数据条件态为 $|1\rangle$ ，允许整体负号。两概率相加为1。失败时原来的未知输入通常已经改变，不能把“再试一次”当作对同一份数据无损重启。

复系数的相位不能随便删

若原系数为 $c_j=|c_j|e^{i\phi_j}$ ，可令 $\alpha_j=|c_j|$ 、 $U'_j=e^{i\phi_j}U_j$ 。 $U'_j$ 仍酉，式 (1) 完全适用。

这里 $e^{i\phi_j}$ 是SELECT不同标签之间的相对相位；不能因为它对孤立的 $U_j$ 是整体相位，就从相干选择电路中删去。例如 $I+Z$ 与 $I-Z$ 会选出不同的计算基分量，删掉负号显然改变目标矩阵。

若所有系数都为0， $\alpha=0$ ，本构造的归一化未定义；零算子可由一个永不接受的独立分支表示，但那不是把上述公式中的0直接相除。

推论与应用

输出是条件线性作用，不是非线性确定通道

未归一化成功分支为

\rho\longmapsto A\rho A^\dagger/\alpha^2,

如果输入有可重复的已知制备电路，可以为每次失败重新准备一份数据，平均尝试次数为 $1/p_\psi$ 。若要用相干放大减少尝试，所需逆电路、反射以及输入是否可重新制备都要检查。无关输入态的振幅放大在编码块接近一个统一缩放的酉时提供特殊接口，不能对任意非酉 $A$ 无条件照搬。

查询和误差的账本

一次 $W$ 使用一次PREP、一次SELECT和一次PREP逆，故若成本为 $C_P,C_S$ ，总计 $2C_P+C_S$ ，另加辅助测量。把SELECT算一次oracle调用是一个明确模型；若它由逐个标签受控执行 $U_j$ 构造，其门数可能包含全部 $m$ 项，不能声称只付其中一项的经典运行成本。

若PREP的实际酉误差至多 $\eta_P$ 、SELECT误差至多 $\eta_S$ ，并使用同一实际PREP的逆，逐因子替换给 $\|\widetilde W-W\|\le2\eta_P+\eta_S$ ，对应矩阵块误差至多 $\alpha(2\eta_P+\eta_S)$ 。条件输出态的误差还可能被很小的成功振幅放大；只控制整个酉的绝对误差不等于已完成后选择精度预算。

式 (1) 的意义不限于立即测量。保留辅助寄存器，就得到后续块编码算法可反复调用的酉接口；它们可以把矩阵加法、乘法和奇异值变换组织为更大电路。

参考资料

[1] Andrew M. Childs and Nathan Wiebe, Hamiltonian Simulation Using Linear Combinations of Unitary Operations, 2012，§II Lemma 2及Theorem 3：相干加法与条件实现。
[2] András Gilyén, Yuan Su, Guang Hao Low and Nathan Wiebe, Quantum Singular Value Transformation and Beyond, 2018作者版，§4.3 Definition 51与Lemma 52：PREP/SELECT形式的线性组合接口。

形式陈述 ​

三段电路直接推出矩阵块 ​

A等于I加2Z的完整成功与失败分支 ​

复系数的相位不能随便删 ​

输出是条件线性作用，不是非线性确定通道 ​