共形化分位回归

响应在原区间外时，E 是离最近端点的正距离。在原区间内时，E 为负，绝对值是到最近端点的距离。若大多数校准响应离边缘很远，负校准阈值会把原区间向内收；若原区间经常漏掉响应，正阈值会向外扩。

为什么不能把负分数偷偷置零 ​

例如原区间是 $[0,4]$，响应为2时分数是−2，响应为5时分数是1。把第一种分数截为零会失去“原边界过宽”的信息。若最后把 q 改成 $q_{+}=max(q,0)$，得到的是包含式(1)的更大集合，因此仍有覆盖下界，但已经是只能扩不能缩的另一个程序。

q 是一个共同的加法修正；原宽度 $u(x)-l(x)$ 仍随输入变化。有限且非空时新宽度为 $u(x)-l(x)+2q$，不是固定半径的对称残差区间。这个几何区别正是分位模型提供的接口。

同一个负阈值，可让宽区间收缩，也可使窄区间为空 ​

在九个校准输入上，冻结边界均为 $[0,4]$，响应依次为

对应分数为

取 $\alpha =1/5$，则 $k=8,q=-1/5$。新输入若有原边界 $[0,4]$，输出 $[1/5,19/5]$；另一个输入若有原边界 $[1,6/5]$，两个校准端点为 $6/5$ 与1，输出为空。

空集不是排序错误。在那个窄区间中，任何 y 的分数都不小于−1/10，无法达到−1/5的接受条件。覆盖保证平均了校准资料和未来输入，并没有承诺每个输入得到非空集合。

一个边际精确合格、稀有群组仍严重漏盖的总体 ​

令输入有两组，$P(X=A)=9/10,P(X=B)=1/10$。条件于A，响应在 $[0,4]$ 均匀，冻结边界也取 $[0,4]$；条件于B，响应在 $[1,6/5]$ 均匀，边界取同一区间。两组原边界甚至都覆盖自己的全部响应。

A组的分数在 $[-2,0]$ 均匀，B组在 $[-1/10,0]$ 均匀。混合分数分布连续，其分布函数在相应两段为

仍取独立校准样本 $n=9,k=8$。对固定未来分数 s，$s\le E_{(8)}$ 当且仅当九个校准分数中至多七个严格低于 s。用二项计数理路二项分布Binomial distribution固定次数独立同概率 Bernoulli 试验中成功总数的离散分布。计算这个事件，记

因 $F(-1/10)=171/200$，将这个接受概率按各组分数密度积分，得到

加权后恰为0.8，与连续可交换秩的 $k/(n+1)$ 一致。积分只是多项式有理数积分，可在本单元脚本中精确重算。B组空集的校准概率还达到

因此即使原曲线具有漂亮的异方差形状，共用一个边际校准阈值也不自动给出群组覆盖。需要群组保证时，应使用预先定义群组的校准合同，不能从式(3)直接条件化。

图左固定一次 $q=-0.2$，图右对九个观测组成的随机校准集平均。右图的总体0.8来自两组加权，不表示每个输入都获得0.8覆盖。

交叉曲线、缺失拟合与泄漏 ​

实际分位模型可能输出上下交叉的曲线。可以在校准前固定规则，例如把两条曲线逐点取最小和最大。它成为新的冻结评分函数，秩证明仍适用。若看过校准标签后挑选最有利的修复规则，再用同一批资料套式(3)，就失去了当前证明的冻结条件。

仅对已经成功输出有限边界的输入使用程序，也可能引入选择。若模型会失败，应预先规定一个可测后备集合或评分规则，并在校准与未来点上一致执行。

从评分接受到覆盖，不需再证明一次分位回归正确 ​

式(1)中两个不等式分别为 $y\ge l(x)-q$ 与 $y\le u(x)+q$，所以式(2)包括了全部候选 y，没有额外的区间凸包步骤。

在包含未来点的 $n+1$ 个分数中，随机打破并列后的测试秩均匀。若其秩至多 k，则其分数不超过校准第 k 小分数；使用非严格接受只会多收并列值。因此有限 k 时覆盖至少 $k/(n+1)\ge 1-\alpha$，无穷阈值时覆盖为一。这里实际调用的就是分割共形的秩机制；无需把各分位模型的估计误差另外塞进覆盖界。

训练成本由两条曲线的拟合决定；校准需 n 次双端点评价和排序，通常为 $O(n\log n)$，也可只选择第 k 项。之后每个新输入只评估两条曲线并加减 q，不重训模型。常数时间的端点计算并不包括模型本身的预测成本。

若关心一份已经固定的校准资料将来会覆盖多少，校准资料条件覆盖理路给定校准资料后的共形覆盖Calibration-conditional conformal prediction · PAC conformal calibration · Training-conditional coverage把部署规则的条件覆盖率视为随校准资料变化的随机量，以顺序统计量和精确二项尾选择满足双层概率目标的校准秩。会对随机阈值诱导的总体覆盖率再给一个外层概率界。这个要求与群组覆盖仍不同。