噪声稳定性与噪声敏感性

频谱平方和表示输出波动分布在哪些阶数。噪声给第 $k$ 阶乘 ${\rho }^k$：若质量集中于低阶，相关保留得较多；若质量不断移向高阶，固定噪声会使相关消失。

“有一定概率翻转”是有限函数的数值；“噪声敏感”通常还包含输入规模增长、噪声率固定的量词。把翻转率随 $n$ 一起缩小，会得到不同极限。

多数与奇偶的可核对比较 ​

三位多数的三个一次系数平方和为 $3/4$，三阶平方为 $1/4$，所以

三位奇偶只有三阶质量，稳定性为 ${\rho }^3$。取逐位翻转概率 $\eta =0.1$，即 $\rho =0.8$：多数稳定性为 $0.728$、翻转概率为 $0.136$；奇偶稳定性为 $0.512$、翻转概率为 $0.244$。

一般 $n$ 位奇偶满足 ${\mathrm{Stab}}_{\rho }={\rho }^n\to 0$，因此对任何固定 $0<\eta <1/2$，输出翻转概率趋于 $1/2$。它不是“几乎总翻转”，而是与原输出几乎无关。

奇数位多数在 $n\to \mathrm{\infty }$ 时满足 ${\mathrm{Stab}}_{\rho }\to (2/\pi )\arcsin \rho$。对固定正相关，这个极限大于零，所以多数族并非噪声敏感族。该极限来自两个相关归一化票数和的二维高斯极限。

为什么要逐坐标独立扰动 ​

取两位均匀输入 $X$，另取一个独立公平符号 $R$，同时令 $Y_1=R{X}_1$、$Y_2=R{X}_2$。每一对坐标都满足 $\mathbb{E}[X_i{Y}_i]=0$，两边的边缘也都均匀；但对于奇偶 $f=x_1{x}_2$，总有 $f(Y)=f(X)$，所以稳定性为 $1$。它没有逐坐标独立的噪声，不能使用 $\rho =0$ 时给出零的频谱公式。

小噪声与总影响 ​

对固定 $n$，在 $\eta =0$ 处对频谱公式求导，得到

因此总影响是噪声敏感度起点处的斜率；它不是任意噪声强度下的完整曲线。对不断变大的函数族交换求导与极限，还需额外论证。

对于非平衡函数，独立输出也会因共同均值而有正的原始相关。例如常量函数稳定性恒为 $1$，方差却为零。比较结构时应先固定均值，或明确使用协方差。

多数最稳定定理公理库多数最稳定定理Majority is stablest theorem在均匀输入、固定均值和所有坐标影响足够小时，以高斯半空间给出噪声稳定性的渐近最优上界。在固定均值、低坐标影响与非负相关下给稳定性上界。它不是对所有函数的无条件排序；单个独裁者就可以比平衡多数更稳定。