布尔噪声算子

一个字符需要它包含的所有坐标共同提供相关性。每个坐标保留相关程度 $\rho$，独立相乘后，含 $k$ 个坐标的字符只剩 ${\rho }^k$。高阶模式需要许多坐标协同，因此更快被噪声抹平。

证明直接使用条件独立性：$\mathbb{E}[\prod _{i\in S}{Y}_i|X=x]=\prod _{i\in S}\mathbb{E}[Y_i|X_i=x_i]={\rho }^{|S|}{\chi }_S(x)$。线性延伸即可得到任意函数的公式。

给三人多数加一半相关的噪声 ​

由多数的频谱，

取 $\rho =1/2$、$x=(1,1,1)$，结果为 $3/4-1/16=11/16$。这等于噪声后多数输出为 $1$ 与为 $-1$ 的概率差，故输出为 $1$ 的概率是 $(1+11/16)/2=27/32$。

直接检查也一致：每位保持 $1$ 的概率为 $3/4$，至少两票为 $1$ 的概率是 $(3/4{)}^3+3(3/4{)}^2(1/4)=27/32$。因此 $T_{\rho }f$ 通常取实数，不再是一个布尔值函数。

两次噪声如何合成 ​

先加相关 $\rho$ 的噪声，再加相关 $\eta$ 的噪声，每个字符总共乘 $(\rho \eta {)}^{|S|}$，所以

$T_1$ 是恒等算子，$T_{0}f=\mathbb{E}f$ 是完全遗忘输入，$T_{-1}f(x)=f(-x)$ 则是确定翻转全部坐标。用 $\rho =e^{-t}$ 参数化非负相关时，便有按时间相加的平滑半群。

对凸函数 $t\mapsto |t{|}^p$ 使用条件形式的Jensen 不等式公理库Jensen 不等式Jensen's inequality凸函数作用于平均值不超过函数值的相同加权平均。，再对均匀 $X$ 平均，给出 $\Vert T_{\rho }f{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p$，$1\le p<\mathrm{\infty }$；这里 $Y$ 的边缘仍均匀。$p=\mathrm{\infty }$ 的收缩直接由平均值不超过最大绝对值给出。超压缩不等式公理库布尔超压缩不等式Boolean hypercontractivity · Bonami-Beckner inequality给出布尔噪声算子从 Lp 到 Lq 收缩所需的精确噪声强度，并说明张量化如何消去维数依赖。更进一步：噪声足够强时，能用输入的较低阶范数控制输出的较高阶范数。

研究随机扰动是否改变布尔输出时，可计算 $⟨f,T_{\rho }f⟩$；这就是噪声稳定性公理库噪声稳定性与噪声敏感性Noise stability · Noise sensitivity用噪声前后输出的相关与翻转概率，区分单个函数的稳定程度和一族函数的噪声敏感极限。。它衡量随机输入输出对的相关，和只看某个指定输入的 $T_{\rho }f(x)$ 是两个不同统计量。