零集中差分隐私

RDP 可以画成横轴阶数 $\alpha$、纵轴隐私预算的曲线。zCDP 用一条穿过原点、斜率为 $\rho$ 的直线从上方罩住整条曲线。两个过程组合时直线斜率相加，因此记账只需要一个数。

Gaussian 机制尤其适合这种表示。相邻查询差上界为 $\mathrm{\Delta }$，噪声标准差为 $\sigma$ 时，其 RDP 曲线恰为 $\alpha {\mathrm{\Delta }}^2/(2{\sigma }^2)$，所以 $\rho ={\mathrm{\Delta }}^2/(2{\sigma }^2)$。一个参数就能无损记录这条直线；对其他机制，线性包络可能较松。

转换式的推导 ​

从任意阶数的 RDP 转换，可取

令 $t=\alpha -1>0$，右侧为 $\rho +\rho t+\log \left(1/\delta \right)/t$。取 $t=\sqrt{\log \left(1/\delta \right)/\rho }$，后两项相等，得到上述闭式。转换中的平方根并非额外经验规则，而是对所有可用阶数完成一次优化。

先组合，再选择 delta ​

某个有界查询的灵敏度为 $1$，每轮加标准差 $20$ 的 Gaussian 噪声。单轮 $\rho =1/800$，发布 $T=80$ 轮后 ${\rho }_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=0.1$。若报告目标 $\delta ={10}^{-6}$，则

改为 $\delta ={10}^{-8}$ 时，同一条已经固定的发布流程对应 $\epsilon \approx 2.814$。这并不是重新运行机制，而是从一个 zCDP 保证导出不同的参数对。

反向设计也能直接计算。若给定最终 ${\epsilon }_0\ge 0$、$0<\delta <1$，写 $a=\log \left(1/\delta \right)$、$x=\sqrt{\rho }$，条件 $x^2+2\sqrt{a}x\le {\epsilon }_0$ 等价于

再将这个总 $\rho$ 分配到各轮；对 ${\rho }_i>0$、${\mathrm{\Delta }}_i>0$ 的 Gaussian 发布，由 ${\sigma }_i={\mathrm{\Delta }}_i/\sqrt{2{\rho }_i}$ 选择噪声。${\mathrm{\Delta }}_i=0$ 时可直接发布；若 ${\mathrm{\Delta }}_i>0$ 却分配 ${\rho }_i=0$，任何有限标准差都不满足这条 Gaussian 校准。预算分配不一定均匀；更重要或灵敏度更大的查询可以分配不同份额。

为什么不是纯 DP ​

高斯隐私损失无界，却满足有限 zCDP。因此 $\rho$ 不是逐输出的最大损失，也不是“以概率 $1-\rho$ 不泄露”。它控制全部指数矩的增长速度。纯 $\epsilon$-DP 可以推出 ${\epsilon }^2/2$-zCDP，但反向不能保留纯隐私。

不同文献还使用带两个参数的集中隐私定义。阅读定理时要检查是否含有额外截距，不能只看到缩写 CDP 就把组合与转换式中的常数照搬。

将所有轮次的 ${\rho }_i$ 相加后，统一转换通常比每轮先选一个 ${\delta }_i$ 再作普通组合更清楚。对带抽样的 Gaussian 更新，应先分析抽样机制的真实曲线；直接把未抽样 $\rho$ 乘以采样率平方并当作所有阶数都成立，通常没有根据。

自测：把单轮噪声标准差翻倍，$\rho$ 变为原来的四分之一。若再把轮数增为四倍，总 $\rho$ 恢复原值，所以在相同最终 $\delta$ 下得到相同的转换保证。这一计算只涉及预算，不承诺训练精度或收敛速度也相同。