周期轨道的参数延续与周期敏感度

改变系统参数时，闭合轨道的形状和绕行时间都可能改变。直接对“走一圈回原点”求解会遇到一个必然的奇异方向：把起点沿同一条轨道挪动，仍是同一个周期运动。一个横截相位条件消去这份自由度，才能区分真正的参数变化与起点重标记。

形式陈述

设 $f(x,\lambda)$ 对状态及标量参数均为C1。在 $\lambda=0$ 有非平凡周期轨道，基点 $p_0$ ，最小正周期 $T_0$ 。记流为 $\phi_\lambda(t,p)$ ，并令

M=D_p\phi_0(T_0,p_0),\qquad f_0=f(p_0,0).

取固定向量 $\ell$ ，满足 $\ell^{\mathsf T}f_0\ne0$ ，以 $\ell^{\mathsf T}(p-p_0)=0$ 固定横截相位。假设回归映射的横向导数没有特征值1；等价地， $M$ 的相位特征值1的代数重数恰为1。

则在 $\lambda=0$ 附近存在唯一的C1函数 $p(\lambda),T(\lambda)$ ，其值靠近 $p_0,T_0$ ，满足

\phi_\lambda(T(\lambda),p(\lambda))=p(\lambda), \qquad\ell^{\mathsf T}(p(\lambda)-p_0)=0. \tag{1}

这里的唯一性同时限定基点在这个小截面、周期在 $T_0$ 附近；不排除远处的其他周期轨道，也不把同一轨道的不同起点算成不同解。

令 $w=\partial_\lambda\phi_\lambda(T_0,p_0)|_{\lambda=0}$ ，该导数保持初值 $p_0$ 不变。基点与周期的导数由可逆线性系统给出：

\boxed{ \begin{pmatrix}M-I&f_0\\\ell^{\mathsf T}&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p'(0)\\T'(0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-w\\0\end{pmatrix}.} \tag{2}

这不是对奇异的 $M-I$ 求逆，而是同时求 $n$ 个基点分量和一个周期分量。

直觉

相位行为什么刚好够用

定义 $G(p,T,\lambda)=(\phi_\lambda(T,p)-p,\ell^{\mathsf T}(p-p_0))$ 。由ODE的初值和参数可微依赖， $G$ 为C1；在参考解处，它对 $(p,T)$ 的导数正是式(2)的带边框矩阵。

检查其核。若 $(M-I)v+f_0s=0$ 且 $\ell^{\mathsf T}v=0$ ，则 $v$ 位于截面切空间。用沿 $f_0$ 投到截面的投影 $\Pi$ 左乘第一式，得到

(D\mathcal P-I)v=0.

横向无乘子1给 $v=0$ ，随即 $f_0s=0$ 给 $s=0$ 。方阵的核为零，因此可逆。隐函数定理现在给出式(1)的局部C1分支，沿分支求导便得到式(2)。

如何计算参数注入项

沿参考轨道 $x_0(t)=\phi_0(t,p_0)$ 解非齐次变分方程

\dot z=D_xf(x_0(t),0)z+D_\lambda f(x_0(t),0), \qquad z(0)=0. \tag{3}

于是 $w=z(T_0)$ 。这个零初值十分重要：基点的变化已经由式(2)中的 $p'(0)$ 表示，不能先塞入式(3)，再重复计算。

若只关心周期导数，可选左特征向量 $q$ ，使

q^{\mathsf T}M=q^{\mathsf T},\qquad q^{\mathsf T}f_0=1.

这样的归一化存在：在“截面方向、流方向”的基下， $M=\left(\begin{smallmatrix}C&0\\a&1\end{smallmatrix}\right)$ 且 $C-I$ 可逆，左特征向量可写为 $(-a(C-I)^{-1},1)$ ，其对流方向的值非零。将式(2)首行左乘 $q^{\mathsf T}$ ，便得到

\boxed{T'(0)=-q^{\mathsf T}w.} \tag{4}

等价地，令 $\psi(t)=Y(t)^{-\mathsf T}q$ ，其中 $Y$ 是齐次变分基本矩阵，则 $\psi'=-D_xf(x_0(t),0)^{\mathsf T}\psi$ 且 $\psi(T_0)=\psi(0)$ 。常数变易把式(4)化为 $T'(0)=-\int_0^{T_0}\psi(t)^{\mathsf T}D_\lambda f(x_0(t),0)dt$ 。这个伴随公式仍依赖同一非退化条件。

例子与边界

同一周期导数，直接公式与变分系统两次复算

考虑

z'=(1+\lambda-|z|^2)z+(2+\lambda)Jz, \qquad J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

对 $\lambda$ 足够小，极坐标给 $r'=r(1+\lambda-r^2)$ 、 $\theta'=2+\lambda$ 。选择正横轴相位，得到

p(\lambda)=(\sqrt{1+\lambda},0),\quad T(\lambda)=\frac{2\pi}{2+\lambda}, \quad p'(0)=(1/2,0),\quad T'(0)=-\pi/2. \tag{5}

下面不对式(5)求导，而计算式(2)的数据。令 $\rho=e^{-2\pi}$ ，则

M=\begin{pmatrix}\rho&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad f_0=\binom02,\qquad\ell=\binom01.

在固定起点 $(1,0)$ 、固定终时 $\pi$ 下，参数径向导数满足 $\dot u=-2u+1,u(0)=0$ ，角度导数为 $t$ 。所以

w=\binom{(1-\rho)/2}{\pi}.

式(2)成为

\begin{pmatrix}\rho-1&0&0\\0&0&2\\0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p'_1\\p'_2\\T'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-(1-\rho)/2\\-\pi\\0\end{pmatrix}.

逐行解得式(5)的结果。再取 $q=(0,1/2)^{\mathsf T}$ ，式(4)也给 $-\pi/2$ 。三条计算链的相位约定、固定初值约定一致，才是有意义的交叉检查。

左图中的闭合圆是轨道集合，沿圆的位移只改相位；右图在正横轴固定基点后比较精确周期和其一阶近似。

横向乘子1处，轨道族真的可能折断

在环带内取 $r'=\lambda+(r-1)^2$ 、 $\theta'=1$ 。 $\lambda=0$ 时 $r=1$ 是周期轨道，径向线性化为零，因此横向乘子为1。当 $\lambda<0$ 足够小时有两条周期圆 $r=1\pm\sqrt{-\lambda}$ ，而 $\lambda>0$ 时附近没有周期圆。这两条半支不能在零点写成单一C1半径函数。相位行只消去沿轨道移动的自由度，不能修复径向退化。

推论与应用

本页的局部延续只排除横向乘子1，比“所有横向乘子都不在单位圆上”的双曲性条件弱。横向乘子 $-1$ 不妨碍式(2)求原周期附近的分支；是否另有二倍周期分支，需要额外的分岔条件，本页不作判断。轨道稳定性也必须独立检查，延续成功并不意味着吸引。

一个具体计算流程是：积分参考轨道、齐次矩阵 $Y$ 和式(3)；在同一终时形成 $M,w$ ；检查相位横穿与带边框矩阵的可逆性；解式(2)，再以相邻参数的周期解验证一阶预测。对于稠密矩阵，最后的线性消元通常需要 $O(n^3)$ 次算术运算，这只计线性求解，不包含 $n+n^2+n$ 个微分未知量的积分成本。

横向乘子接近1时，即使尚未等于1，逆矩阵也可能很大，周期和基点对残差敏感。浮点求解输出一组数字并不是延续证书；若要保证附近确有解，仍须给出Jacobian逆的可靠界、非线性余项界及一个留在共同存在窗口内的邻域。

参考资料

Harry Dankowicz、Jan Sieber，Sensitivity Analysis for Periodic Orbits and Quasiperiodic Invariant Tori Using the Adjoint Method，§3.3，式(78)–(90)：简单相位乘子、相位约束及周期伴随敏感度。本文采用原时间变量与 $q^{\mathsf T}f=1$ 的归一化，负号已由式(2)单独推导。
Gerald Teschl，Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems，作者公开初稿，§12.2 Lemma 12.7，印刷页319：以回归映射和隐函数定理延续双曲周期轨道。本页明确使用证明所需的较弱条件“横向无乘子1”。

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同一周期导数，直接公式与变分系统两次复算 ​

横向乘子1处，轨道族真的可能折断 ​

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