周期轨道的轨道稳定性

横截面像每圈经过一次的检测门。每次过门更接近周期轨道，还不足以直接写下连续时间结论：两次过门之间不能突然远离，过门的间隔也不能无限变长。证明分别控制这三件事。

找到真正收缩的范数 ​

令 $\rho (C_0)<q<1$。由Jordan形的矩阵幂估计理路Jordan 标准形Jordan canonical form · Jordan normal form在特征多项式分裂时，把有限维算子表示成 Jordan 块直和。，可先取 $\rho (C_0)<r<q$，得到 $\Vert C_0^k\Vert \le K{r}^k$；Jordan块产生的有限次幂因子被 $r^k$ 吸收。于是

收敛，且与原范数等价。移一项可得 $\Vert C_{0}v{\Vert }_{\ast }\le q\Vert v{\Vert }_{\ast }$。连续可微性使某个小凸坐标球内 $\Vert D\mathcal{P}{\Vert }_{\ast }\le \kappa <1$。以不动点为中心，这个球被映回自身，并有

只看欧氏矩阵范数可能错失这个收缩；谱半径小于1不要求原坐标下的一步算子范数小于1。

从过门次数回到真实时间 ​

缩小截面后，返回时间 $\tau (y)$ 连续且位于 $[T/2,3T/2]$。轨道段 $\varphi (s,y)$ 在 $0\le s\le 3T/2$ 上对 $y$ 有共同Lipschitz界。因此从第 $k$ 次过门到下一次过门，距 $\mathrm{\Gamma }$ 至多为式(2)右侧的一个固定倍数。

还须覆盖不是从门上出发的点。取截面局部坐标 $v\mapsto y(v)$，映射 $(s,v)\mapsto \varphi (s,y(v))$ 在 $(0,0)$ 的导数由流方向与截面方向组成，满秩。反函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。给局部流坐标。沿紧轨道取有限个这样的坐标盒，其映射和逆映射都有共同Lipschitz界；其中 $v=0$ 正好表示轨道。因此横向坐标大小与到轨道的距离可用统一常数互相控制，且到第一个门的时间有统一上界。

这些有限段运动连同式(2)始终留在定义域内的紧邻域，所以解能够不断延续。扣除第一次到门的有界时间后，经过 $t$ 时间至少完成 $2t/(3T)$ 减去一个固定常数次返回。于是可取某个 $C$ 和 $\alpha =-2\log \kappa /(3T)>0$ 得到式(1)。常数 $C$ 吸收最初的时间段与坐标换算。

一个不需要隐藏常数的吸引圆 ​

取

极坐标给 $r^{\prime }=r(1-r^2)$、${\theta }^{\prime }=2$。半径1的周期轨道周期为 $\pi$，其横向乘子为 $e^{-2\pi }$。若 $1/2\le r(0)\le 3/2$，此环带正向不变，并且

所以直接得到全时域证书

这个环带上的统一界比局部线性衰减率2保守，但无需把线性近似当成精确解。

横向乘子1时，非线性项仍能决定成败 ​

在 $1/2<r<3/2$ 的环带考虑 ${\theta }^{\prime }=1$。对 $r^{\prime }=-(r-1{)}^3$，记 $u_0=r(0)-1$，则

单位圆渐近稳定，收敛却只有代数速度，不满足式(1)。若改成 $r^{\prime }=+(r-1{)}^3$，任何非零小径向扰动都会离开固定小环带，单位圆不稳定。两者沿圆的径向线性方程都为 $u^{\prime }=0$，横向乘子均为1。单位圆边界上的乘子不能替代非线性分析。

接近轨道不等于保持预先指定的相位 ​

令 $r^{\prime }=0,{\theta }^{\prime }=r$。半径1附近的圆始终保持径向距离 $|r-1|$，所以单位圆轨道稳定；但相位差以 $(r-1)t$ 积累，同相位的两条轨道可逐渐走到圆的两侧。这里轨道不吸引，横向乘子仍为1。

平面中的一个标量检验 ​

平面周期轨道只有一个横向乘子 $\rho$。相位乘子为1，再用线性系统的Liouville行列式公式理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。，得到

因此散度沿一圈积分为负时，轨道局部指数稳定。对上面的吸引圆，$\mathrm{div}f=2-4r^2=-2$，式(4)给出 $e^{-2\pi }$，与精确回归映射一致。若积分为零，本页的严格收缩判据不作判断。

严格收缩还给相位误差的可求和性。由于 $\tau$ 为C1，$|\tau ({\mathcal{P}}^{j}y)-T|\le K{\kappa }^j\Vert y-p\Vert$；逐圈的额外时间因此收敛到一个有限总偏移。结合两次返回之间的连续依赖，可为每个足够近的初值选一个极限相位，使它趋近对应的周期运动。这个结论使用了指数收缩；轨道稳定的定义本身并没有承诺相位锁定。

在偏置平面振子的闭轨证书理路Bendixson–Dulac判据与闭轨排除Bendixson–Dulac criterion · Bendixson-Dulac theorem · Bendixson criterion · Dulac判据用加权散度与周期边界零通量排除平面闭轨，明确单连通和严格符号条件，并在有孔环域上比较两条闭轨、证明扰动振子周期轨唯一。中，可以先由紧环带证明周期存在，再以两条候选闭轨间的负散度排除多解。散度上界与角速度界还给 $0<\rho \le e^{-15\pi /34}<1$，此时才使用本页判据取得局部指数轨道稳定。整个环带的omega集都趋于同一轨道，是另一份定性结论，并没有自动给出全环带共用的指数常数。

周期轨道的参数延续理路周期轨道的参数延续与周期敏感度Continuation of periodic orbits · Period sensitivity · 周期轨道的相位约束固定横截相位后，用非相位乘子不等于1证明局部参数延续；由带边框变分系统同时计算基点与周期导数，并解释退化和近退化边界。只需横向乘子不等于1即可局部追踪轨道，允许某些乘子的模大于1。可延续性与吸引性是两项不同的判定，计算时应分别记录。