Lie–Trotter 与 Strang 分裂

Lie–Trotter 先把全部时间交给 A，再交给 B，顺序偏向一侧。Strang 把 A 平分在两端；在相关正负时间子流都存在的区域，走回头路时能逐段撤销：$S_{-h}=S_h^{-1}$。在光滑一致方法中，这种对称性消去领先的偶次对数误差，得到二阶方法。

线性情形看得尤其清楚。$e^{hB}{e}^{hA}$ 与 $e^{h(A+B)}$ 的二阶差是 $h^2(BA-AB)/2$。当矩阵不交换，先后顺序产生真实差异；缩小步长才使差异按预期阶数下降。

两个剪切拼成振动 ​

对谐振子 $q^{\prime }=p,p^{\prime }=-q$，取 A 为自由漂移：$(q,p)\mapsto (q+hp,p)$；B 为动量冲击：$(q,p)\mapsto (q,p-hq)$。Lie–Trotter 先漂移后冲击，矩阵为

Strang 按“半漂移、全冲击、半漂移”执行，矩阵为

取 $(q,p)=(1,0)$、$h=0.2$，Lie–Trotter 得到 $(1,-0.2)$，Strang 得到 $(0.98,-0.2)$，真解为 $(\cos 0.2,-\sin 0.2)\approx (0.980067,-0.198669)$。Strang 的位置误差已经小得多，而动量仍有三阶局部误差。

若交换 A、B，得到熟悉的半冲击、全漂移、半冲击结构，即leapfrog公理库HMC 的 leapfrog 积分器Leapfrog integrator for HMC · Störmer–Verlet integrator for HMC以半步动量、整步位置、半步动量的对称组合，离散 HMC 的可分 Hamilton 方程并保持可逆与辛结构。的可分 Hamilton 特例。本页的分裂思想也适用于并非 Hamilton 的反应、输运和扩散算子。

子流若各自保辛或保持同一不变量，复合会保留相应共同结构。若把一次精确子流求值视为给定操作，Lie–Trotter 每步调用两次，Strang 每步调用三次，具体成本还由各子流实现决定。连续推进 $N$ 个 Strang 步时，相邻的同类精确子流可按流的半群性质合并，得到 $N+1$ 次 A 子流与 $N$ 次 B 子流调用；一般近似子求解器未必允许这种精确合并。

若子流用近似求解器代替，整体阶数与结构要重新分析。含边界的 PDE 还可能发生边界不兼容导致的阶数下降；形式上的对称排列不足以绕过正则性和边界条件。