Runge–Kutta 的保辛条件

RK 的阶段把多个局部斜率混在一起。保辛条件要求这些混合系数成对平衡，使离散更新中出现的二次面积误差精确抵消。

取两条初值扰动 $\delta y,\eta y$。将阶段变分方程代入一步更新后的辛配对，Hamilton 向量场的线性化满足 $f^{\prime }(Y_i{)}^{\mathsf{T}}J+J{f}^{\prime }(Y_i)=0$，因此一阶项抵消；余项为

系数条件令每一项消失，得到更新前后配对相等。证明检查的是所有扰动方向，强于只看一条数值轨迹的能量曲线。

隐式中点为何满足 ​

单阶段隐式中点有 $b_1=1,a_{11}=1/2$，条件成为 $2\times 1\times (1/2)=1$，成立。对谐振子 $y^{\prime }=Ay$、$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$，一步矩阵为

它既满足 $M^{\mathsf{T}}JM=J$，又满足 $M^{\mathsf{T}}M=I$，所以本例精确保持圆形能量。按顺时针为正的有符号相位推进量是 $2\arctan \left(h/2\right)$，与精确流的 $h$ 不同；能量精确并没有使相位误差消失。

唯一阶段解仍可能不光滑 ​

取光滑 Hamiltonian $H(q,p)=p(q-q^3)$，对隐式中点取 $h=2$。阶段方程化为

在 $q_n=0$ 附近，它们有唯一实解，但 $Y_q=\sqrt[3]{q_n}$ 在零处不可微。最终更新是 $Q=2Y_q-q_n$、$P=3Y_q^2{Y}_p$，所以每个 $(0,p_n)$ 都被送到 $(0,0)$。系数仍满足保辛恒等式，失败的是光滑解支条件；不能在这里对阶段方程求导并宣布全局辛性。

显式 RK 的限制 ​

显式 RK 有 $a_{ii}=0$。取保辛条件的 $i=j$，得到 $0=b_i^2$，迫使所有 $b_i=0$，与一致性 $\sum _i{b}_i=1$ 冲突。因此显式标准 RK 无法满足这组普遍保辛条件。

显式辛 Euler 和 leapfrog 没有与此矛盾：它们利用可分 Hamilton 结构，属于分裂或分区更新，并不是对任意向量场使用同一标准显式 RK 系数表。

隐式 Gauss 配点 RK 满足保辛条件，并可达到高阶；实际代价是每一步求解耦合阶段方程。未充分收敛的非线性求解会引入额外辛缺陷，应将求解误差与方法的理论性质分开报告。

保辛 RK 对二次不变量有特别好的保持性质，但对一般非二次 Hamiltonian 不会自动逐步精确保能量。方法选择应结合目标结构与允许的隐式计算成本。