脆弱性生存模型

每个人的风险都不随时间降低，为什么观察到的群体风险仍可能逐渐下降？frailty 模型用一个未观察到的风险倍数描述异质性，并展示幸存者选择怎样改变群体组成。

Gamma 例子：风险下降来自谁还留下 ​

取 $Z$ 的均值为一、方差为 $\theta >0$ 的 Gamma 分布，即 shape 为 $1/\theta$、scale 为 $\theta$。其 Laplace 变换为 $(1+\theta s{)}^{-1/\theta }$，所以无其他协变量时

设 ${\lambda }_0=0.2$、$\theta =1$。每个人都有常数条件风险 $0.2Z$，群体风险却是 $0.2/(1+0.2t)$：起初为 $0.2$，五年时为 $0.1$。五年时生存率为 $1/2$。

更具体地，五年幸存者的平均脆弱性为 $E[Z\mid T>5]=1/(1+0.2\times 5)=1/2$。高 $Z$ 者更早退出风险集，剩下的人平均风险较低。这个机制不要求任何人的身体或设备状态随时间改善。

共享脆弱性如何产生相关 ​

若同一簇的对象共享 $Z_g$，且给定它后条件独立公理库独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。，则两人的联合生存为

在均值一的指数脆弱性情形，若两个累计风险都为一，联合生存为 $1/3$，各自生存率的乘积为 $1/4$，说明共享风险因素诱导正相关。不能把簇中多人的资料当成完全独立，再只在解释时补一句“存在共同环境”。

拟合时可对共享随机效应积分，或用合适的数值近似。生存时间较长的簇常得到较低的后验脆弱性估计，但这种估计包含收缩与模型假设，不等于直接测量到一个生物属性。

边界与反例 ​

没有重复或分组结构时，单一边缘生存曲线通常不足以同时自由识别基线风险形状和脆弱性分布。很多不同的分解可产生相同曲线。拟合出非零异质性不意味着发现了唯一的潜在机制。

条件比例风险也一般不会在边缘化后保持比例。若某组风险倍数是 $a$，Gamma 例子的边缘风险比为 $a(1+\theta H_0)/(1+\theta a{H}_0)$，会随时间变化。这为比例风险诊断公理库Schoenfeld 残差Schoenfeld residuals把事件者协变量与风险集加权均值之差按时间检查，识别固定 Cox 系数遗漏的时间结构。中的趋势提供一种解释，却不是每次趋势都由脆弱性造成的证明。

脆弱性模型把条件于潜在风险的个体效应，与经过幸存者选择后的群体效应分开。解释共享簇的资料时，应同时报告潜在效应的分布假设、簇结构与边缘预测。

单元练习：同一份资料，三个目标 ​

五人资料如下，时间均以年计。A 在 $0$ 进入，$2$ 发生类型 $1$，$z=1$；B 在 $0$ 进入，$3$ 删失，$z=0$；C 在 $1$ 进入，$4$ 发生类型 $2$，$z=0$；D 在 $3$ 进入，$5$ 发生类型 $1$，$z=1$；E 在 $0$ 进入，$6$ 删失，$z=1$。假定进入与删失满足所需的独立性。

请列出三个事件时刻的风险集；以任何事件为终点计算 $\beta =0$ 时的 Cox 部分似然和得分；再计算时间 $5$ 的两类累计发生率，以及 $\tau =6$ 的无事件 RMST。

风险集依次为 $\{A,B,C,E\}$、$\{C,D,E\}$、$\{D,E\}$。因此在零系数处，部分似然为 $(1/4)(1/3)(1/2)=1/24$；得分为 $(1-1/2)+(0-2/3)+(1-1)=-1/6$。

无事件生存率依次为 $3/4,1/2,1/4$。Aalen–Johansen 给出类型 $1$ 累计发生率 $1/4+(1/2)(1/2)=1/2$，类型 $2$ 为 $(3/4)(1/3)=1/4$，与无事件概率相加为一。RMST 为 $2+2(3/4)+1(1/2)+1(1/4)=4.25$ 年。

验收时须说清三种条件各管哪一步：独立进入/删失支撑风险集代表性；固定 Cox 系数的解释还依赖比例风险；累计发生率必须保留竞争事件的概率流失。RMST 的面积计算不需要比例风险，但需要观察窗内可识别的生存曲线。这份小资料也不足以另行识别一个自由的脆弱性分布。