Hájek 比率估计量 | Codeboy's Blog

形式陈述

为什么除以“估计出来的总体人数”，有时比除以已知人数更稳定？设 $d_i=1/\pi_i$ ，并用HT 估计分别构造 $\widehat t_y=\sum_Sd_iy_i$ 与 $\widehat N=\sum_Sd_i$ 。样本非空时，Hájek 均值估计为

\widehat{\bar Y}_H=\frac{\widehat t_y}{\widehat N} =\sum_{i\in S}\frac{d_i}{\sum_{j\in S}d_j}y_i.

若已知总体大小 $N$ ，可报告总量估计 $N\widehat{\bar Y}_H$ 。由于权重为正，均值估计落在样本最小值与最大值之间，并对 $y_i$ 同时加常数的操作作同样平移。

它一般不是精确设计无偏的。令真均值为 $\bar Y=t_y/N$ ，将比率在 $(t_y,N)$ 附近线性化，有

\widehat{\bar Y}_H-\bar Y\approx\frac1N\sum_{i\in U} \left(\frac{I_i}{\pi_i}-1\right)(y_i-\bar Y).

这个线性化有一个精确余项。记 $A=\sum_{i\in U}(I_i/\pi_i-1)(y_i-\bar Y)$ ，则 $\widehat{\bar Y}_H-\bar Y=A/\widehat N$ ，所以

\widehat{\bar Y}_H-\bar Y-\frac A N =-\frac{A(\widehat N-N)}{N\widehat N}.

若分母相对误差 $\widehat N/N-1$ 趋零，则余项相对于线性主项的尺度可忽略；若还要得出方差近似，仍需相应的矩控制。

因此首阶方差由中心化残差 $y_i-\bar Y$ 的 HT 总量决定。常用的充分条件包括分母集中于 $N$ 、极端权重受到控制及相应的矩条件；一个随机比率没有脱离设计的万能稳定保证。

直觉

HT 总量随样本变化时，有一部分波动可能来自样本“代表了多少人”，另一部分来自这些人的平均数值。分子与分母共同缩放，就能消掉第一部分。特别是所有 $y_i=c$ 时，Hájek 均值恒等于 $c$ ，而 $\widehat t_y/N=c\widehat N/N$ 仍可能波动。

这个归一化机制与自归一化重要性采样相似，但抽样调查中的随机性来自有限总体设计，方差仍须保留分层、簇和联合纳入结构。

例子与边界

沿用 HT 页的三人总体 $(2,4,8)$ ，样本概率为 $p_{12}=1/2,p_{13}=3/10,p_{23}=1/5$ ，设计权重为 $(5/4,10/7,2)$ 。三种样本的 Hájek 均值分别为

\widehat{\bar Y}_{12}=\frac{46}{15},\qquad \widehat{\bar Y}_{13}=\frac{74}{13},\qquad \widehat{\bar Y}_{23}=\frac{19}{3}.

例如抽中 $\{1,3\}$ ，HT 总量为 $18.5$ ，估计人数为 $3.25$ ，两者相除得到 $74/13\approx5.6923$ 。若直接除以已知 $N=3$ ，则为 $6.1667$ 。

把三种 Hájek 结果按设计概率平均，得到 $293/65\approx4.5077$ ，真均值为 $14/3\approx4.6667$ ，偏差为 $-31/195\approx-0.1590$ 。分子和分母分别无偏，并没有使它们的比值无偏。

若把同一设计的总体数值改成所有人均为 $5$ ，每份非空样本的分子都等于五倍分母，Hájek 结果恒为 $5$ 。这个例子说明它消除的是与总体规模共同变化的分子波动，而非对任意 $y$ 都有同样效果。

设计允许空样本时，需要明确估计量的定义或改用保证非空的设计。极端权重时，归一化结果仍可能几乎由一个对象决定，应同时检查权重集中程度和设计有效信息量。

推论与应用

一般比率估计还可把分母换成辅助变量总量。校准权重进一步要求多个已知总体总量同时匹配；仅匹配常数变量的校准，正好体现了“权重和应等于总体人数”的约束。

参考资料

Thomas Lumley, Complex Surveys: A Guide to Analysis Using R, Wiley, 2010, Chapter 5, “Ratios and Linear Regression”，设计权重与比率估计。
U.S. EPA spsurvey, Technical Details, “Totals, Means, Proportions, and Distribution Functions”，总量与比率估计的实现。