有限总体抽样设计 | Codeboy's Blog

形式陈述

本页回答：总体里的数值已经固定，抽样推断中的概率究竟对什么取？设有限总体为 $U=\{1,\ldots,N\}$ ，其中 $N\ge1$ ，其数值 $y_1,\ldots,y_N$ 固定。抽样设计是在可选样本集合上的概率分布 $p(s)$ ，满足 $p(s)\ge0$ 、 $\sum_{s\subseteq U}p(s)=1$ 。随机对象是样本 $S$ ，而非此刻总体中的 $y_i$ 。

令 $I_i=\mathbf1\{i\in S\}$ 。一阶与二阶纳入概率分别为

\pi_i=P_p(i\in S),\qquad \pi_{ij}=P_p(i,j\in S),\qquad \pi_{ii}=\pi_i.

于是 $E_pI_i=\pi_i$ ， $\operatorname{Cov}_p(I_i,I_j)=\pi_{ij}-\pi_i\pi_j$ 。下标 $p$ 提醒读者，均值与方差按同一总体上的重复抽样计算。

若样本量恒等于 $n$ ，则 $\sum_i\pi_i=n$ ；对固定 $i$ 还有 $\sum_j\pi_{ij}=n\pi_i$ ，其中求和包含 $j=i$ 。若每个大小为 $n$ 的子集等概率，才是简单随机不放回抽样，此时 $\pi_i=n/N$ 、 $\pi_{ij}=n(n-1)/[N(N-1)]$ （ $i\ne j$ ）。

直觉

把一份完整名册视作固定的一盒卡片，设计规定每次怎样从中挑出一叠。总体均值是盒子本身的属性；估计量随着抽到哪一叠而变化。设计无偏的意思是：把所有可能样本按设计概率平均后，估计量恰好落回总体目标。

这个视角与把人看作某个无限分布独立生成的模型不同。两种视角可以同时使用，但每次写方差时都要说清是哪一种随机性。已知抽样设计使一些推断不必先假设总体数值服从正态分布。

例子与边界

相同的一阶概率，不同的信息

总体有四人，数值为 $(0,0,10,10)$ 。设计 A 以各 $1/2$ 的概率抽取 $\{1,2\}$ 或 $\{3,4\}$ ；设计 B 以各 $1/2$ 的概率抽取 $\{1,3\}$ 或 $\{2,4\}$ 。两个设计中，每个人的 $\pi_i$ 都是 $1/2$ ，样本量都为二。

设计 A 的样本均值为 $0$ 或 $10$ ，其设计均值为 $5$ 、方差为 $25$ 。设计 B 的样本均值总是 $5$ ，方差为零。只保存每人的抽样权重 $1/\pi_i=2$ ，会丢掉造成这项差异的联合结构。比如 $\pi_{12}$ 在 A 中是 $1/2$ ，在 B 中是零。

抽样框与概率样本的边界

假设目标总体有五人，但名册遗漏了第五人。前四人无论怎样随机抽，遗漏者的纳入概率都是零。抽样随机性支撑的是名册覆盖的人群；要推广到第五人，需要补充名册或额外模型信息。

“现场选了看起来典型的人”没有给出可计算的设计概率。样本可能碰巧接近总体，也可能远离；设计无偏与设计方差需要一个真实的随机抽取规则作为依据。

推论与应用

Horvitz–Thompson 估计用一阶概率恢复总量，用二阶概率表达方差。分层、整群和多阶段设计都可以放进同一框架：先识别真正被随机选择的单位，再记录相关概率。

分析前的最小设计说明应包括目标总体、抽样框、各阶段抽取单位、放回方式、纳入概率及非应答处理。这些信息决定结果可以推到哪里，也决定标准误怎样计算。

参考资料

U.S. EPA spsurvey, Technical Details, “Design-Based Inference” and “Inclusion Probabilities and Design Weights”，设计随机性与纳入概率。
Mark S. Handcock, Sample Survey Techniques, STAT 529, learning objectives，有限总体与超总体推断的课程区分。
Sharon L. Lohr, Sampling: Design and Analysis, 3rd ed., CRC Press, 2022, Chapters 1–2，概率抽样基础。

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