分层抽样与 Neyman 分配

分层先确保每类总体都有计划地被代表；分配再决定每层测得多精细。层越大，它的均值误差对总体总量影响越大；层内波动越大，估计同样精度需要更多样本。

在方差公式中，有限总体修正对应的 $-\sum _h{N}_h{S}_h^2$ 不随分配变化。最小化只需考虑 $\sum _h{N}_h^2{S}_h^2/n_h$。使用Lagrange 乘子法公理库拉格朗日乘子法Lagrange multiplier method约束极值处目标梯度位于约束梯度张成空间中的必要条件。，加上约束的乘子项 $\lambda (\sum _h{n}_h-n)$，求导得到 $-N_h^2{S}_h^2/n_h^2+\lambda =0$，即 $n_h\propto N_h{S}_h$。成本约束同样给出分母的 $\sqrt{c_h}$。

乘子方程先给出候选点，全局最优性还可由Cauchy–Schwarz 不等式公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。直接认证：

等号恰在 $n_h\propto N_h{S}_h$ 时成立。对成本约束，改用两组向量 $N_h{S}_h/\sqrt{n_h}$ 与 $\sqrt{c_h{n}_h}$，同样得到等号条件 $n_h\propto N_h{S}_h/\sqrt{c_h}$。这证明的是所述连续内点问题；人数上下限生效时还须重新求解。

比例分配与最优分配的实算 ​

两层大小为 $100,300$，层内标准差为 $10,20$，总样本量 $80$。按人数比例分配得到 $(20,60)$；Neyman 连续解为 $(80/7,480/7)\approx (11.43,68.57)$，可取邻近整数 $(11,69)$ 后比较方差。

比例分配的总量方差是

整数分配 $(11,69)$ 给出约 $482648$，更小。第二层的总体规模和内部波动都较大，因此即使已经人数较多，仍值得分配更高比例的测量资源。

若第二层每人的成本变成第一层的四倍，则成本最优的样本数比例为 $100\cdot 10:300\cdot 20/2=1:3$。最终人数还要用实际总预算缩放，不能沿用固定 $80$ 人的约束。

必要的设计边界 ​

实际规划中的 $S_h$ 通常来自历史资料或先导调查。若它估得不准，声称的最优性也随之改变。多目标调查还要照顾多个指标，而非只优化一个变量的方差。

若公式要求 $n_h>N_h$，该层应全查，再对剩余预算重新分配。需要估计层内方差时，通常也须设置每层至少两个样本单位等下限。单人层直接全查，贡献零设计方差；零方差层按所需覆盖和最低样本量约束单独安排。整数、全查、最低样本量和访问成本都应进入最后的可执行方案。

这是设计阶段公理库有限总体抽样设计Finite population sampling design把有限总体数值固定、样本集合随机，区分一阶纳入机会与决定方差的联合抽取结构。的优化：分层和分配在观察结果之前确定。事后按样本结果随意重组层，再套原设计方差，会改变随机性结构。若辅助变量已知总体总量，则分析阶段还可用校准进一步提高精度。