按规模概率抽样

规模变量在抽样前告诉我们谁可能对总量贡献较大。若 $y_i$ 恰好正比于 $M_i$，则 $y_i/p_i$ 对所有单位都相同，每次抽取给出相同总量，HH 方差为零。实际只需规模与目标有较强联系，就有机会减少不等贡献造成的波动。

规模是辅助信息，不必等于目标值。例如先按企业人数抽企业，再调查工资总额；人数是可用的规模，工资总额才是要估计的结果。

三个单位的规模为 $(1,2,3)$，目标数值为 $(2,6,9)$。每次概率为 $(1/6,1/3,1/2)$。有放回抽两次，假设依次抽到单位 $2,3$，则

真总量是 $17$。这里无偏是重复设计平均的性质，这一份样本仍有误差。

两次抽取下，纳入概率为 $(11/36,5/9,3/4)$。对同一次结果的不同单位集合 $\{2,3\}$，HT 估计为 $6/(5/9)+9/(3/4)=22.8$。两个结果不同，原因是它们利用抽次与纳入集合的方式不同；把 $p_i$ 直接当 ${\pi }_i$ 才是混用。

不放回 PPS 又是另一类设计。若指定 ${\pi }_i=n{M}_i/\sum _j{M}_j$，必须检查所有值不超过一；超过者通常设为必入样单位，再为其余总体重新分配。某些逐次不放回抽法只让下一抽概率与剩余规模成比例，最终 ${\pi }_i$ 并不等于这个简单公式。

实施时先固定“放回还是不放回、按抽次还是按不同单位分析”，再选权重和方差公式。规模必须在设计时可得，且目标单位的规模为正；零规模而目标非零的单位需要单独覆盖。

PPS 常与整群设计配合：第一阶段按簇规模抽簇，第二阶段在簇内等概率抽固定人数，可以使最终个体权重较接近。具体是否自加权，要把两阶段概率相乘后核对。