调查校准加权

原始HT 权重公理库Horvitz–Thompson 估计量Horvitz-Thompson estimator以逆纳入概率恢复总体总量，逐项证明设计无偏，并区分总量与方差估计的正概率要求。来自实际抽取机会，校准再用总体已知信息调整其代表份额。调整力求小，约束则必须精确满足；这是一个带约束的估计构造。

当上述加权 Gram 矩阵可逆时，定义加权回归系数 $\hat{B}=(\sum _S{d}_i{q}_i{x}_i{x}_i^{\mathsf{T}}{)}^{-1}\sum _S{d}_i{q}_i{x}_i{y}_i$，代数整理给出

辅助变量总量误差通过预测关系转成结果总量的修正。若总体上恰有 $y_i=x_i^{\mathsf{T}}B$，校准约束立即给出 ${\hat{t}}_{cal}=t_x^{\mathsf{T}}B=t_y$。一般资料中仍有残差，方差主要由那些残差的抽样波动决定。

总体四人的辅助值为 $1,2,3,4$，故人数为 $4$、辅助总量为 $10$。简单随机抽二人，恰抽到 $x=1,3$，原权重均为二。对常数项与 $x$ 同时校准，方程为

解为 $w_1=1,w_3=3$。若观察到的结果分别为 $4,8$，原 HT 总量是 $24$，校准总量是 $1\times 4+3\times 8=28$。若全体结果确实满足 $y=2+2x$，总体总量就是 $2\times 4+2\times 10=28$，本例恰被校准完全恢复。

再考虑另一个四人总体，辅助值为 $(1,3,4,6)$，总量为 $14$，抽中的两人仍为 $x=1,3$。方程解变为 $(-1,5)$。目标辅助均值 $3.5$ 超出样本辅助值的凸包 $[1,3]$，所以不存在满足约束的非负权重。二次距离允许负权重；若应用要求正权重，应检查可行性并选择相应距离、界或更合适的约束。

计算流程是：检查总体总量与样本辅助变量定义一致及约束相容，删除冗余约束，求解权重，再核对约束残差、权重范围和设计方差。稠密线性校准对 $n$ 人、$p$ 个辅助变量约需 $O(n{p}^2+p^3)$。

校准是利用已知信息的估计调整，一般不保持有限样本精确无偏。方差应使用残差线性化或在每份复制权重中重新校准。若辅助总量本身也是估计值，其误差也要进入推断。