两相抽样 | Codeboy's Blog

形式陈述

便宜的辅助变量可以测很多人，昂贵的结果只能测少数人，怎样让两次选择都进入推断？两相抽样先从总体抽 $S_1$ ，再从已抽到的人中选 $S_2\subseteq S_1$ 。第一相观察辅助变量，第二相补充结果变量。

记第一相纳入概率为 $\pi_{1i}>0$ 。对每份具有正设计概率的第一相样本 $S_1$ 及其中的单位 $i\in S_1$ ，要求第二相条件纳入概率 $\pi_{2i\mid S_1}>0$ ；不在 $S_1$ 中的单位不可能进入 $S_2$ 。一个两相加权总量是

\widehat t=\sum_{i\in S_2}\frac{y_i}{\pi_{1i}\pi_{2i\mid S_1}}.

条件于 $S_1$ ，对第二相设计取期望，得到 $\sum_{i\in S_1}y_i/\pi_{1i}$ ；再对第一相取期望，得到 $t_y$ 。这是迭代期望的直接应用。

注意 $\pi_{1i}\pi_{2i\mid S_1}$ 可依赖实际 $S_1$ ，不应一律称为固定的边缘纳入概率。该估计的无偏性来自逐相条件化；只有条件概率不随其他第一相结果变化等适当情形，简单乘积才直接给出固定边缘概率。

直觉

第一相决定观察到怎样的人群，第二相在这个人群里进一步决定谁接受昂贵测量。第二相的加权先把昂贵结果推回第一相，第一相的权重再把结果推回总体。每一次推回，都对应一次真实随机选择。

“两相”与“两阶段整群”侧重点不同。两相通常是在同一层次对象上补测更多变量；两阶段通常先抽学校、再抽学生。它们可以同时出现在一个设计里，分析时按实际条件结构展开即可。

例子与边界

总体四人的固定结果为 $(2,4,6,8)$ 。第一相简单随机抽三人， $\pi_{1i}=3/4$ ；第二相从这三人中等概率选一人， $\pi_{2i\mid S_1}=1/3$ 。被测结果的权重是四，所以估计为 $4y_K$ 。

假设第一相恰为 $\{1,2,4\}$ ，第二相的三种估计为 $8,16,32$ ，条件均值为 $56/3$ 。这正等于第一相 HT 总量 $(4/3)(2+4+8)$ 。再跨第一相平均，结果为真总量 $20$ 。

总方差也能拆开：

V(\widehat t)=V_1\{E_2(\widehat t\mid S_1)\} +E_1\{V_2(\widehat t\mid S_1)\}.

本例最终等价于全体四人中均匀抽一人，所以 $V(4y_K)=80$ 。第一项是三人 HT 总量的方差 $80/9$ ；第二项因此为 $640/9$ 。若只按当前第一相样本计算第二相误差，会漏掉第一项。

若第二相优先补测第一相中风险较高的人，只要选择概率已知且为正，仍可按条件权重处理。没有随机选择规则的选择性补测，则需要额外的缺失机制假设，不能直接冒称为概率设计。

推论与应用

第一相辅助变量不仅用于决定第二相概率，还可用于回归或校准提高精度。此时校准目标可能是第一相估计出来的总体总量，方差仍应保留第一相的不确定性。

建立设计对象时，保留第一相未进入第二相的记录及两个阶段的概率信息。仅保存最终完整记录，会使两相结构难以恢复。

参考资料

svrep official vignette, Replication Methods for Two-phase Sampling, Sections 2–3，两相设计、条件方差和复制方法。
Cochran, Sampling Techniques, 3rd ed., Wiley, 1977, Chapter 12，double sampling。