整群抽样与设计效应

形式陈述

一次抽很多同班学生，与从很多学校各抽一人，为什么精度不同？整群抽样先随机选簇，再观察簇内全部或部分对象。随机选择的基本单位是簇，分析需要保留簇内协方差。

当指定简单随机抽样基准的方差 $V_{\mathrm{SRS}}(\widehat\theta)>0$ 时，定义该估计量的设计效应

\operatorname{deff}=\frac{V_{\rm design}(\widehat\theta)}{V_{\rm SRS}(\widehat\theta)}.

分母必须注明基准样本量、是否放回和有限总体修正。若基准方差为零，例如常数总体的样本均值，这一比值没有定义。设计效应依赖变量与估计量，同一调查不必对所有结果都有同一个值。

一个常见近似来自等大簇模型：共抽 $k$ 个独立簇，每簇 $m$ 人，各人的方差为 $\sigma^2>0$ ，簇内任意两人的相关系数为 $\rho$ ，簇间独立。忽略有限总体修正时， $n=km$ 人的均值方差为

V(\bar y)=\frac{\sigma^2}{km}\{1+(m-1)\rho\},\qquad \operatorname{deff}\approx1+(m-1)\rho.

这是一组明确协方差假设下的结果，并非一切复杂设计的精确公式。

直觉

先看一个簇的总和：有 $m$ 个自身方差，再有 $m(m-1)$ 个有序交叉协方差，方差为 $m\sigma^2+m(m-1)\rho\sigma^2$ 。把 $k$ 个独立簇相加，再除以均值的分母平方 $(km)^2$ ，就得到上式。

同簇对象相似时，新增一人往往重复已有信息。增加簇的数量和增加每簇人数，成本与信息收益因此不同。图像上可以把每簇看作一束相近的观测，束与束之间才提供较独立的变化。

例子与边界

某调查抽 $20$ 个簇，每簇 $10$ 人， $\rho=0.1$ 。近似设计效应为 $1.9$ ，以均值方差匹配的有效样本量为 $200/1.9\approx105.3$ 。

若保持 $200$ 人但改成 $40$ 个簇、每簇 $5$ 人，设计效应为 $1.4$ ，有效样本量约 $142.9$ 。后一种方案通常需要更多进入簇的成本，统计效率与访问预算要一起考虑。

总体由四个二人簇组成，簇内数值依次为 $(0,0),(0,0),(10,10),(10,10)$ 。随机等概率抽一个整簇，样本均值为 $0$ 或 $10$ ，方差为 $25$ 。

若从八人中简单随机不放回抽二人，总体方差 $S^2=200/7$ ，样本均值方差为 $(1-2/8)S^2/2=75/7$ 。精确设计效应为 $25/(75/7)=7/3$ 。等大簇近似给出的 $1+(2-1)\times1=2$ 与它不同，因为这里抽样比例很大，有限总体修正影响了基准。

大簇和小簇被同概率抽取并全查时，个体纳入概率可相同，但总样本人数随机；若每簇再固定抽若干人，个体概率就与簇大小有关。均值应按目标总体与阶段概率加权，而不是无条件把所有记录平摊。

负簇内相关、分层和校准都可能降低方差。设计效应可以小于一，所以“复杂抽样总是损失精度”也不是一般结论。

推论与应用

样本量计划应报告独立簇数及簇内人数，而不只报告总人数。方差估计和复制权重通常在主抽样单位层面重抽或删组，才能反映真正的随机变化。

参考资料

Sharon L. Lohr, Sampling: Design and Analysis, 3rd ed., CRC Press, 2022, Chapters 5–6，整群和多阶段抽样。
Statistics Canada, Variance estimation, Chapter 7，复杂设计方差与重复权重。