整数扩展、截断与移位

形式陈述

取 $W>w$ ，用定宽整数的 $U_w,S_w$ 解释 $w$ 位串。零扩展在高处补 $W-w$ 个零，满足 $U_W(\operatorname{zext}(b))=U_w(b)$ 。符号扩展复制最高位，满足 $S_W(\operatorname{sext}(b))=S_w(b)$ 。

截断 $\operatorname{trunc}_{W\to w}$ 只保留低 $w$ 位，故无符号值变为模 $2^w$ 的余数。它能无损保留一个有符号整数，当且仅当该整数已在 $[-2^{w-1},2^{w-1}-1]$ 内；无符号保值条件则为 $[0,2^w-1]$ 。

本页把位移量限制在 $0\le k<w$ 。逻辑右移高位补零，结果无符号值为 $\lfloor U_w(b)/2^k\rfloor$ 。算术右移复制原符号位，结果补码值为 $\lfloor S_w(b)/2^k\rfloor$ 。这里的舍入是向负无穷取整。

直觉

扩展要先问“保留哪一种值”。对负数补零，会把原来的负权最高位变成普通正权位；复制符号位则用新增的一串高位抵消权重变化。截断没有办法知道被删掉的位是什么，所以一般不是扩展的可逆操作。

若原最高位为一，符号扩展后的无符号值为 $U_w(b)+(2^W-2^w)$ 。再减去 $2^W$ ，正好得到 $U_w(b)-2^w=S_w(b)$ 。这条等式直接证明符号扩展保值。

例子与边界

八位 11110110 的无符号值为 $246$ ，补码值为 $-10$ 。扩为十六位时，00F6 保留 $246$ ，FFF6 保留 $-10$ 。若一个有符号字节 load 本应产生 FFF6，错误零扩展便把负索引变成正数；它不是精度上的小误差。

先在八位下计算 $127+1$ ，低八位是 80，再符号扩展得 FF80，即 $-128$ 。先把两个输入扩为十六位再相加，得 0080，即 $128$ 。前一种计算已经丢失“结果超出八位范围”的信息，事后扩宽救不回来。

零扩展同样不能跨越可能溢出的旧宽度加法：八位 $255+1$ 先回绕为零，而十六位相加为 $256$ 。因此“先扩再算”与“先算再扩”的等价性需要额外的无溢出条件。

八位 $-3$ 是 11111101。算术右移一位得到 11111110，即 $-2$ ；按向零舍入的整数除法， $-3/2$ 则为 $-1$ 。逻辑右移得到 01111110，即 $126$ 。三个结果来自三个明确不同的操作。

左移并保留低 $w$ 位对应乘 $2^k$ 后取模；它可能丢失原来的高位。本文没有为负位移量或 $k\ge w$ 定义操作。真实 ISA 可能屏蔽位移量，源语言可能采用其他规则，必须分别查契约。

推论与应用

RV32I 立即数解码需要先把分散的立即数位拼好，再按该立即数的宽度符号扩展。指令字的最高位常是符号来源，但不能把整个指令字当有符号整数去扩展。

在指令选择中，窄 load、窄算术和比较的先后顺序都是正确性义务。可用上述三个结构不同的测试检查保值规则：负数扩宽、越界加法、奇负数右移。它们分别击中解释、信息丢失和舍入方向。

参考资料

Randal E. Bryant and David R. O’Hallaron, Computer Systems: A Programmer’s Perspective, 3rd ed., 2016，§2.2–2.3，整数宽度转换与移位。
RISC-V International，RV32I 2.1，固定文档版 v20260120，§1.1.4 与 §1.1.6；ISA 的立即数、窄 load 与移位规则应与本页数学映射分别阅读。