定宽整数与二进制补码

位串相当于有限个格子的标签。无符号与补码是读标签的两把尺子；加法器可以用同一个低位结果，比较器却必须知道使用哪把尺子。八位 11111111 在两种解释下分别是 $255$ 和 $-1$，并没有一个脱离解释规则的“真正数值”。

补码的便利来自 $-x$ 与 $2^w-x$ 同余。因此在 $w$ 位内对 $x$ 逐位取反再加一，得到加法逆元。$0$ 的逆元仍是 $0$；最小负数的取负则是一个重要边界。

进位不等于有符号溢出 ​

八位下，01111111 + 00000001 = 10000000。无符号计算是 $127+1=128$，没有第九位进位；有符号计算期望 $128$，却得到 $-128$，所以有符号溢出。反过来，11111111 + 00000001 的完整和为 1 00000000：无符号 $255+1$ 产生进位，但补码 $-1+1=0$ 没有溢出。

两个补码操作数同号、结果异号，恰是加法有符号溢出的判据。异号相加不会超出范围，因为结果位于两数之间。对同号输入，超出正端会跨到最高位为一的区间，超出负端则绕到最高位为零的区间；这也解释了判据，而非仅记忆一个位公式。

不能表示的相反数 ​

八位 10000000 表示 $-128$。取反加一仍得 10000000，因为 $128$ 不在有符号八位范围内。模运算确实给出自己的加法逆元，但把它解释为普通整数上的取负便失败。饱和算术会改为夹到边界，异常算术会拒绝操作，都不是本页的模加法。

相同位串，不同排序 ​

比较 11111111 与 00000001：无符号关系是 $255>1$，补码关系是 $-1<1$。因此把 signed compare 换成 unsigned compare 会改变控制流。经验证的指令选择理路经验证的指令选择Verified instruction selection · Certified instruction selection · 指令选择验证以机器操作、寻址模式和临时量约束下的状态模拟证明，保证低层模式选择不改变程序可观察行为。必须保留这个解释；只用小正数做测试无法检出错误。

Word-RAM理路Word-RAM 模型Word RAM · Word-RAM model以 w 位机器字、常数时间随机访存和明确字级操作集分析算法的随机访问机模型。可以选择模 $2^w$ 的字运算，本页提供其中数值解释的接口；它没有据此规定某条实际 CPU 指令的耗时。扩展与截断理路整数扩展、截断与移位Sign extension · Zero extension · Integer truncation用保值等式定义零扩展与符号扩展，区分截断、右移和先运算后扩展的结果。进一步处理宽度变化时哪些数值被保留。

机器级模运算也不自动决定源语言的溢出语义。要判断一段 C、Rust 或其他语言程序，仍须使用该语言和模式的规则，不能仅凭底层加法器会回绕就替源码作出结论。