广义 Pareto 分布

提高门槛后，留下的是更极端的一小部分数据。幂尾会使剩余的典型超额随门槛变大，有限端点则使可用的剩余空间越来越小；指数尾恰好处于剩余尺度不变的情形。

因此阈值稳定性不是一律“忘记已经走过的距离”。它允许记忆通过尺度更新保留下来。只有 $\xi =0$ 才退化为真正的无记忆性。

提高门槛并不会把尺度留在原处 ​

取 $\xi =1/2,\beta =2$，则 $P(Y>y)=(1+y/4{)}^{-2}$。把额外门槛提高到 $v=4$，新尺度应为 $2+(1/2)4=4$。直接计算

它确实是形状 $1/2$、尺度四的 GPD。原均值是 $\beta /(1-\xi )=4$，提高门槛后的额外均值变为八，因此 $E[Y\mid Y>4]=12$。

负形状给出剩余空间 ​

若 $\xi =-1,\beta =5$，尾函数为 $1-y/5$，支持 $0\le y\le 5$，就是区间上的均匀分布。给定 $Y>3$，剩余量 $Y-3$ 在 $(0,2)$ 均匀分布，新尺度 $5-3=2$。门槛不能提高到端点五再条件化，因为该事件的概率为零。

指数分布只是零形状特例 ​

当 $\xi \to 0$，利用 $\log (1+z)\sim z$，

于是得到均值 $\beta$ 的指数分布公理库指数分布Exponential distribution具有恒定失效率和连续无记忆性的非负等待时间分布。。尺度更新 $\beta +\xi v$ 变成常数 $\beta$，阈值稳定性正好变成无记忆性。

稳定性的代数证明 ​

先取 $v\ge 0$ 且 $1+\xi v/\beta >0$。对 $z\ge 0$ 且 $1+\xi (v+z)/\beta >0$，条件尾概率为

右端就是所述 GPD。若 $\xi <0$，新上端点为 $-(\beta +\xi v)/\xi =-\beta /\xi -v$，恰是原端点减去新门槛；支持也一起对上。

分位与矩的存在条件 ​

令 $p\in (0,1)$ 为分布概率，解 $P(Y>q_p)=1-p$ 得

这也给出逆变换模拟公式。对正形状，$p\uparrow 1$ 时分位发散；负形状时趋向有限端点。

由Tonelli 的非负尾积分公式公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。，$EY={\int }_0^{\mathrm{\infty }}P(Y>y)dy$（有限支持外尾为零）可得

同理由 $E{Y}^2=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}yP(Y>y)dy$，

在相应正形状临界值及以上，均值或二阶矩发散。负形状因有界支持，所有正阶矩都有限。前面的 $\xi =1/2$ 例子均值有限，方差却无穷；有限样本总能算出一个有限样本方差，并不能改变总体矩的性质。

从条件超额恢复原始尾概率 ​

若 $X-u\mid X>u$ 以 GPD 建模，而 $p_u=P(X>u)$，则对 $x>u$，

在精确模型中成立，在高门槛近似中则是近似式。条件形状不能独自决定总体超越概率，还必须乘回进入门槛以上的概率 $p_u$。

Pickands–Balkema–de Haan 定理公理库Pickands–Balkema–de Haan 阈值定理Pickands-Balkema-de Haan theorem · Peaks-over-threshold limit theorem属于极值吸引域的总体，其高门槛以上的条件超额可由同形状参数的广义 Pareto 分布一致逼近。说明哪些总体的高门槛超额渐近接近这个族。阈值稳定性是族本身的精确性质，渐近逼近则是关于更广总体的另一个结论。