关键更新定理

更新测度把所有可能的更新时刻叠在时间轴上，$g(t-s)$ 则描述“距这次更新已有多久”所产生的贡献。远处每单位时间大约有 $1/\mu$ 份更新质量，所以极限应是响应曲线下的面积乘以这个密度。直接 Riemann 可积性防止面积很小却高度很大的尖峰反复对准更新时刻。

从小窗口到整条响应 ​

先把 $g$ 截断在 $[0,M]$，用固定网格的上、下阶梯函数夹住。每个阶梯只涉及一个长度为 $\delta$ 的远处窗口，Blackwell 定理公理库Blackwell 更新定理Blackwell renewal theorem在有限平均间隔及非格点条件下，远处固定时间窗的期望更新数趋于窗长除以平均间隔。令它的更新质量趋于 $\delta /\mu$。有限个阶梯可以直接求和取极限。

再处理 $M$ 之外的尾部。固定 $h>0$，在 $x\ge 0$ 后找到首次更新。若它落在 $(x,x+h]$，计入这一点以后最多再有一份长度 $h$ 的普通更新计数，所以 $U((x,x+h])\le 1+m(h)$；右边由更新方程页的局部有限性保证有限。将这一界乘以尾部上和，可把遗漏部分一致压小。卷积中 $U$ 在零处的原子另贡献 $g(t)$；直接 Riemann 可积性使 $g(t)\to 0$，因此这个端点也消失。最后先让 $M\to \mathrm{\infty }$，再让 $\delta \downarrow 0$，上下和合拢到 $\int g/\mu$。这一顺序说明为何仅有逐点局部极限仍不够：必须先得到不随 $t$ 恶化的尾部控制。

设备每个周期先工作 $A$ 再维修 $B$，各周期向量 $(A,B)$ 独立同分布，周期内允许相关。假设 $A,B\ge 0$、$P(A+B>0)=1$、$0<E(A+B)<\mathrm{\infty }$，且 $A+B$ 非格点。零时刻开始工作，记 $p(t)$ 为时刻 $t$ 的工作概率。首次周期分解给出

这里 $g(t)=P(A>t)$ 单调不增，且尾积分恒等式给出 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(t)dt=EA$，所以它直接 Riemann 可积。于是

若工作时间为速率 $\alpha$ 的指数时间，维修时长固定为 $b$，则极限为 $1/(1+\alpha b)$。推导没有要求维修时间指数化，也没有把两状态过程误认成连续时间 Markov 链。

普通 Lebesgue 可积不能替代直接 Riemann 可积。取 $g(k)=1$ 对所有非负整数 $k$，其余点为零，则积分为零，却有 $g(k)=1$ 的无限尖点。对指数更新间隔，$U={\delta }_0+\lambda ds$，因此 $(U\ast g)(t)=g(t)$，沿整数与非整数两列没有共同极限。失败来自更新测度中零时刻的原子，绝非积分计算有误。

若周期固定，非格点条件又会失败。例如工作一单位、维修一单位且固定起点，$p(t)$ 永远交替为 $1$ 与 $0$，没有逐时刻极限；但长期工作时间比例仍为 $1/2$。

本定理给的是确定观察时刻的分布或期望极限。更新报酬定理公理库更新报酬定理Renewal reward theorem把长期收益拆成每周期平均收益与单位时间周期数，允许周期长度和收益相关。给的是一条长轨迹上的时间平均，后者不必消除格点振荡。两种结论可能拥有同一个比值，却来自不同的假设与极限操作。