更新过程

每次更新后，下一段寿命与过去无关，系统在到达时刻重启。但是在任意观察时刻，当前设备已经使用的年龄通常会影响剩余寿命。因此“周期之间独立”不等于“任意两个时间窗中的计数独立”。

图中的一条示意路径只用于阅读定义，不代表任何总体平均。观察时刻 $t$ 落在 $S_2$ 与 $S_3$ 之间，所以 $N(t)=2$；即使已经消耗第三个周期的大部分时间，它仍未完成。

令各间隔独立地以概率 $1/2$ 取 $1$ 或 $2$。在时刻 $t=2$，第一次更新必已发生，第二次更新只在 $X_1=X_2=1$ 时发生。因此

虽然平均间隔为 $3/2$，$2/(3/2)=4/3$ 并不等于 $EN(2)$。把时间除以平均周期是长期近似，不是任意有限时间的精确计算。

这个例子还直接否定独立增量。若第一个单位时间没有更新，便知 $X_1=2$，所以第二个单位时间必有更新；若第一个单位时间有更新，第二个单位时间是否更新则由 $X_2$ 决定，概率为 $1/2$。过去计数改变了下一窗计数的条件分布。

若所有 $X_n\equiv c$，得到确定周期计数 $\lfloor t/c\rfloor$，它仍是更新过程。若各 $X_n$ 独立但分布逐次变化，普通更新结构已失效；若只有第一段服从不同分布，则称延迟更新过程，可将第一次到达之后作为普通更新过程处理。

对所有可能的更新序号求和，得到更新函数 $m(t)=EN(t)=\sum _{n\ge 1}{F}^{\ast n}(t)$。更新方程公理库更新方程Renewal equation按第一次更新分解，利用更新测度求解卷积型递推方程。进一步按第一次更新分解它。更新计数的大数定律公理库更新计数的大数定律Renewal strong law通过到达部分和的路径反演，证明长期单位时间更新数趋于平均间隔的倒数。研究 $N(t)/t$，而非把上述级数逐项近似。

只有在指数间隔这一特殊情形，剩余等待不受已等待时间影响，并产生Poisson 过程公理库Poisson 过程Poisson process · 泊松过程以独立平稳的 Poisson 增量描述连续时间到达，并与独立指数间隔相互转换。的独立平稳增量。一般寿命、检修周期和到达间隔可以使用更新模型，但使用前必须检查更换是否真的恢复同分布，以及连续周期是否存在共同环境造成的相关性。