检查悖论与长度偏倚

形式陈述

平均每隔 $\mu$ 时间来一班车，随机到站是否平均只等 $\mu/2$ ？只有间隔固定时才恰好如此；波动会改变随机观察所处区间的分布。

设更新过程的间隔 $X>0$ ， $EX=\mu<\infty$ ，在平稳更新过程中观察零时刻。记所在区间长度为 $L$ 、已经过去的年龄为 $A$ 、剩余等待为 $R$ 。有

P(L\in dx)=\frac{xF(dx)}\mu,\qquad P(R>r)=\frac{E(X-r)_+}{\mu}.

给定 $L=x$ ，观察位置均匀，故 $E(R\mid L=x)=x/2$ 。由此

EL=\frac{EX^2}{EX},\qquad ER=EA=\frac{EX^2}{2EX}.

等式可以取值 $+\infty$ 。只有 $EX^2<\infty$ 时，剩余等待的期望才有限。若方差有限，进一步写成

ER=\frac\mu2+\frac{\operatorname{Var}(X)}{2\mu}.

直觉

把一个很长的观察窗口涂成相邻周期，再在窗口内均匀选时刻；平稳初始化直接给出相应的平衡抽样律。长度为 $3$ 的周期被命中的机会是长度为 $1$ 的周期的三倍，即使两种周期在班次列表中数量相同。所谓悖论，是把“在周期列表中均匀抽一项”误当成“在时间轴上均匀选一点”。

剩余寿命的报酬证明尤其直接。一个长度为 $x$ 的周期内，剩余时间从 $x$ 匀速降到零，曲线下面积为 $x^2/2$ 。当 $EX^2<\infty$ 时，将周期面积当作收益，用更新报酬定理除以平均周期长度，即得 $EX^2/(2EX)$ 。若二阶矩无限，不能把不可积报酬代入这个有限均值版本；从平衡尾概率直接用Tonelli 定理则有

ER=\frac1\mu\int_0^\infty E(X-r)_+\,dr =\frac1\mu E\int_0^X(X-r)\,dr =\frac{EX^2}{2\mu},

允许两端同为 $+\infty$ 。二阶矩来自三角形面积，不是额外塞进公式的修正系数。

例子与边界

取独立间隔 $1$ 或 $3$ ，各以概率 $1/2$ 出现。这是用于隔离抽样机制的精确两点模型。按周期抽样， $EX=2$ ；按随机时间观察，长周期的概率为

P(L=3)=\frac{3(1/2)}2=\frac34, \qquad P(L=1)=\frac14.

因此 $EL=(1/4)\cdot1+(3/4)\cdot3=5/2$ ， $ER=5/4$ 。若先平均每个普通周期的半长，则只得到 $(1/2)EX=1$ ，遗漏了长度偏倚。完整剩余尾概率还能写成

P(R>r)=\frac{(1-r)_++(3-r)_+}{4},

例如取 $r=2$ ，随机观察的剩余等待超过 $2$ 的概率为 $1/4$ ，普通周期长度超过 $2$ 的概率却为 $1/2$ 。前者还要计入观察者已经走过周期的一部分。

“平均剩余等待总比平均间隔大”并不成立。正确比较是 $ER\ge\mu/2$ ；在二阶矩有限时， $ER>\mu$ 等价于 $\operatorname{Var}(X)>\mu^2$ ；二阶矩无限时则直接有 $ER=\infty$ 。指数间隔的方差正好是 $\mu^2$ ，所以 $ER=\mu$ ；固定间隔则 $ER=\mu/2$ 。

若尾概率 $P(X>x)=(1+x)^{-\alpha}$ ，其中 $1<\alpha\le2$ ，则 $EX=1/(\alpha-1)$ 有限而 $EX^2=\infty$ 。系统仍有正的长期到达率，但随机观察者的平均剩余等待无穷。这不是矛盾：极长而罕见的间隔在时间抽样下被放大。

推论与应用

对从更新点启动的普通过程，上述公式可作为长时间随机观察的极限；要用单个确定时刻 $t\to\infty$ 的分布极限，还需处理非格点条件。该区分对班车、维修周期和服务剩余时间同样重要。排队中的等待不仅取决于平均服务时长，还会受这个二阶矩效应影响，具体见M/G/1 平均等待公式。

参考资料

Ward Whitt, 2012，The Excess, the Age and the Lifetime。
Robert G. Gallager, MIT 6.262，Chapter 4, renewal-reward analysis of residual life。

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