再生过程 | Codeboy's Blog

形式陈述

更新过程只记录周期何时结束。若每个周期内部还有工作、故障、维修等变化，怎样保留这些变化而继续使用周期法？答案是把一整段轨迹当作可重复的随机对象。

设取值于可测空间的随机过程 $Z(t)$ 关于样本与时间联合可测，并有时刻 $0=T_0<T_1<T_2<\cdots$ ， $T_n\to\infty$ 。若周期记录

\left(T_n-T_{n-1},\ (Z(T_{n-1}+s))_{0\le s<T_n-T_{n-1}}\right),\qquad n\ge1,

是同一可测空间中的随机元素且独立同分布，则称 $Z$ 为从再生点启动的再生过程， $T_n$ 为再生时刻。周期内不同时间高度相关并无问题；要求的是完整周期之间独立，并服从同一规律。允许第一段特殊时，称延迟再生过程。

设 $C=T_1$ 且 $0<EC<\infty$ 。对可测函数 $f$ ，若

E\int_0^C|f(Z(s))|\,ds<\infty,

则时间平均满足

\frac1t\int_0^t f(Z(s))\,ds \longrightarrow \frac{E\int_0^C f(Z(s))\,ds}{EC} \quad\text{几乎必然}.

取 $f=\mathbf1_B$ ，右边定义长期占用概率 $\pi(B)$ 。它按周期内停留时间加权，而不是按周期中访问了多少次加权。

直觉

一个再生点意味着把历史封存后，未来可以由同样的实验重新生成。例如彻底维修并换上新部件后，设备的未来寿命才可能与旧历史无关；只按下重启键却保留老化部件，不一定再生。

证明将每周期的积分作为收益，使用更新报酬定理。绝对积分条件同时控制完整周期收益和当前未完成周期的最大累计贡献，所以末尾残段不会改变长期比值。过程内部不必是 Markov 的，这正是再生表示的作用。

例子与边界

设设备每次完整维修后重新开机，工作时长 $A_n$ 与维修时长 $B_n$ 构成 IID 周期向量。令 $Z(t)$ 只记录工作或维修。即使工作寿命是固定时长，维修寿命是一般分布，两状态过程通常不具 Markov 性，但每次开机仍是再生点。周期中工作占用为 $A_n$ ，维修占用为 $B_n$ ，故

\pi(\text{工作})=\frac{EA}{EA+EB},\qquad \pi(\text{维修})=\frac{EB}{EA+EB}.

若研究“工作年龄超过 $a$ ”的比例，一个周期内满足条件的时间是 $(A-a)_+$ ，所以

\pi(\text{工作且年龄}>a)=\frac{E(A-a)_+}{EA+EB}.

这一步展示为何值得保留完整周期轨迹：仅知道每周期访问工作态一次，无法得到年龄分布。

可数状态 Markov 链每次返回某个正常返状态，可以在离散时间下形成同类再生结构。首次返回是随机时刻，周期独立性依赖强 Markov 性，不能只引用确定时刻的 Markov 等式。若返回时间均值无穷，再生仍可能存在，但上面的有限平均周期概率公式不能照用。

另一个边界是共享环境。假设一开始随机选中“好环境”或“坏环境”，以后所有周期都在同一环境中运行。给定环境时周期可能 IID，但不加条件时不同周期通过环境相关。长期工作比例可以收敛到依赖环境的随机值，而非将两种环境的均值混合后所得的单一比值。

推论与应用

再生法能把仿真输出按周期分块，估计每周期积分和周期长度之比。置信区间还需要二阶矩等额外条件；不能因为已有时间平均定理便声称误差一定正态。要得到确定时刻 $Z(t)$ 的分布收敛，还要处理周期性与响应函数条件，通常借助关键更新定理。

参考资料

Ward Whitt, 2012，Regenerative Processes and Semi-Markov Processes。
Robert G. Gallager, MIT 6.262，Chapter 4, §4.5。

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