平稳更新过程

随机选周期和随机选时刻不是同一种抽样。较长的周期能容纳更多观察时刻，所以跨零周期必须按长度加权；选到它以后，原点在周期内没有偏爱的位置，因此再均匀选择相位。

这个构造给出可直接核验的联合尾概率：

对长度 $x$ 的周期，能同时离左端超过 $a$、离右端超过 $b$ 的位置长度为 $(x-a-b{)}_{+}$；先按长度偏倚再除以 $x$ 作均匀抽样，两因子正好抵消。令 $a=0$ 就得到 $P(R>b)={\mu }^{-1}{\int }_b^{\mathrm{\infty }}P(X>u)du$，从而得到 $F_e$。

直接核验平移不变性 ​

先在零处放一个更新点，向两侧接上双向 IID 的 $F$ 间隔，得到点集 ${\xi }^0=\{S_j:j\in \mathbb{Z}\}$，其中 $S_0=0$、$S_1=X_1$。记 ${\theta }_u\xi =\{x-u:x\in \xi \}$，即把时间原点移到 $u$。点集按有界 Borel 集的计数所生成的 $\sigma$-代数观察；下面只使用平移与计数可测的局部有限点集。

长度偏倚再均匀选相位，恰好把任意有界可测观测 $\mathrm{\Phi }$ 的期望写成

这不是直接调用独立周期的报酬定理：$\mathrm{\Phi }$ 可以观察多个相邻周期，周期报酬未必独立。这里改用双向 IID 间隔在重新编号下不变，即 ${\theta }_{X_1}{\xi }^0$ 与 ${\xi }^0$ 同分布。对 $h>0$，两份期望之差乘以 $\mu$ 为

第一项令 $u=X_1+v$，便由上述同分布性与Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。等于第二项。有界性及 $E{X}_1<\mathrm{\infty }$ 保证各积分可积。故正向平移保持分布，利用平移可逆也得到负向平移，证明整条实线上的平稳性。

同一个构造还能核验强度。对 $t>0$，用Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。逐个更新点求和，并将每一项的原点移到该点，有

第二个等号在每个求和项内使用同一双向 IID 重新编号；最后这些相邻区间把实线分割，所以指标和为一。由此得到 $E{N}_e(t)=t/\mu$，而不把几乎必然的更新率直接换成期望极限。

固定间隔 $X\equiv c$ 时，平稳点集为 $\{kc-U:k\in \mathbb{Z}\}$，其中 $U\sim \mathrm{Unif}(0,c)$。点与点仍相距 $c$，随机的只是相位。于是 $A$ 与 $R$ 都均匀分布在 $(0,c)$，却满足 $A+R=c$，完全不独立。

若间隔指数分布，$P(X>u)=e^{-\lambda u}$，则 $F_e(x)=1-e^{-\lambda x}=F(x)$。此时随机时刻的剩余等待与刚更新后的等待同分布，是无记忆性的特殊结果。一般情形 $F_e\ne F$，不能把第一段也照普通间隔分布抽取。

若 $P(X=1)=P(X=3)=1/2$，普通周期中两种长度各占一半，跨零周期却以概率 $1/4$ 为短周期、$3/4$ 为长周期。接着在选中周期内均匀放置原点。只把原点放在普通抽取周期的均匀位置而不作长度偏倚，会得到错误的平衡律。

有限均值不可省略：若 $EX=\mathrm{\infty }$，$xF(dx)/\mu$ 和上述平衡剩余分布不能归一化为概率。平稳初始化也不等于独立增量；固定间隔加随机相位已是一个反例。

普通更新过程在非格点条件下，远处的年龄与剩余寿命可以趋向这里的平衡律；这是一个收敛定理。按本页构造启动，则从一开始就在平衡态，两件事不要混用。随机观察的平均等待是否有限，以及为何常比 $EX/2$ 大，由检查悖论与长度偏倚公理库检查悖论与长度偏倚Inspection paradox · Renewal length bias随机时刻按长度偏倚抽取更新区间，剩余寿命的平均值由二阶矩决定。进一步计算。