更新报酬定理

长时间收益有两个因子：每个完成周期平均赚多少，以及单位时间能完成多少周期。一个周期同时决定耗时与收益并不妨碍两个平均各自收敛，真正需要的是不同周期之间能够重新开始。

证明把这两个因子直接分开：

强大数定律公理库强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。使第一项趋于 $E{Y}_1$，更新计数大数定律公理库更新计数的大数定律Renewal strong law通过到达部分和的路径反演，证明长期单位时间更新数趋于平均间隔的倒数。使第二项趋于 $1/\mu$。两项之间无需独立，因为两条几乎必然收敛可放在同一个概率为一的事件上相乘。

对连续累积收益，周期记录 IID 使 $M_n$ 同分布。对每个 $\epsilon >0$，非负尾和满足

第一 Borel–Cantelli 引理公理库Borel–Cantelli 引理Borel–Cantelli lemmas由事件概率级数的收敛或在独立条件下的发散判断无限多事件发生概率。排除无限多次超界，再对 $\epsilon =1,1/2,\dots$ 取共同概率一事件，得到 $M_n/n\to 0$ 几乎必然。结合 $N(t)/t\to 1/\mu$，当前周期的绝对贡献至多 $M_{N(t)+1}=o(t)$，补上了从周期结算到实际时间收益的一步。

设备每周期先工作 $A_n$ 再维修 $B_n$。以“正常工作的时间”为收益，即 $X_n=A_n+B_n$、$Y_n=A_n$，便有长期可用率

这里未完成周期的收益不超过周期长度，故有限 $E(A+B)$ 足以控制边界。如果每次维修成本为 $c$，每单位工作时间收入为 $r$，周期净收益改成 $r{A}_n-c$，长期净收益率为 $(rEA-c)/(EA+EB)$。公式已经把停机占用的时间计入分母。

取等概率的两种周期 $(X,Y)=(1,1)$ 与 $(3,0)$。周期抽样下的平均收益率是 $E(Y/X)=1/2$；时间平均却是 $EY/EX=(1/2)/2=1/4$。零收益的长周期占据了更多实际时间，不能与短周期各占一半来平均速率。

若所有周期长度都为 $2$，且前一单位工作、后一单位维修，则长期可用率仍为 $1/2$。但固定时刻的工作概率在 $0$ 与 $1$ 之间振荡。报酬定理不需要非格点条件，因为它对时间作了平均，并未保证每个远处时刻的边缘概率收敛。

把周期收益取成一次访问某状态所累计的停留时间，可以构造再生过程公理库再生过程Regenerative process以独立同分布的整段轨迹为周期，将复杂过程的长期占用化为单周期积分。的长期占用分布。把收益取成剩余寿命曲线下的面积，则得到检查悖论公理库检查悖论与长度偏倚Inspection paradox · Renewal length bias随机时刻按长度偏倚抽取更新区间，剩余寿命的平均值由二阶矩决定。中的二阶矩公式。这两种应用都依靠同一个比值，但要分别核验收益的可积性。