更新计数的中心极限定理

在 $n\approx t/\mu$ 个周期附近，总耗时的波动约为 $\sigma \sqrt{t/\mu }$。把“多花的时间”换成“少完成的周期数”，还要除以每周期平均时间 $\mu$，所以计数的标准差尺度是 $\sigma \sqrt{t}/{\mu }^{3/2}$。平方以后出现 ${\mu }^3$，不是把部分和方差简单除以 $\mu$。

通过分布函数反演 ​

令 $a_t=\sigma \sqrt{t}/{\mu }^{3/2}$，并取整数 $k_t=\lfloor t/\mu +x{a}_t\rfloor$。逐条路径有

当 $t\to \mathrm{\infty }$，$k_t+1\sim t/\mu$，且

对确定整数索引 $k_t+1$ 使用IID 中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。，右侧趋于 $1-\mathrm{\Phi }(-x)=\mathrm{\Phi }(x)$。正态分布连续，所以严格或非严格端点不会影响极限。这条证明避免了直接把一个随机索引塞进 CLT 所需的额外论证。

设 $X$ 等概率取 $1$ 或 $3$，则 $\mu =2$、${\sigma }^2=1$。计数中心为 $t/2$，标准差尺度为 $\sqrt{t/8}$。若把运行时间扩大四倍，平均完成数扩大四倍，绝对波动尺度只扩大两倍；相对波动因此减半。

可以在同一平均间隔下比较规律程度。固定间隔 $X\equiv 2$ 给出 $N(t)=\lfloor t/2\rfloor$，与 $t/2$ 的误差始终小于 $1$；指数间隔均值为 $2$ 时方差为 $4$，正态尺度则是 $\sqrt{t/2}$。二者长期到达率完全相同，计数的稳定程度却不同。

固定间隔的 ${\sigma }^2=0$ 不满足本页的正方差标准化。可以另写 $(N(t)-t/\mu )/\sqrt{t}\to 0$，但不能除以零来套用标准正态公式。方差无穷时也不能使用该尺度；某些重尾间隔需要稳定分布及不同归一化。

CLT 控制以 $\sqrt{t}$ 为尺度的中央涨落，不保证稀有尾部的相对误差。例如要求更新次数比均值高出固定比例，是随 $t$ 增大越走越远的尾部事件，可能需要大偏差分析。短时间下正态近似还会给负计数分配概率，提醒我们它是渐近近似而非精确分布。

统计更新率 $N(t)/t$ 的自然误差尺度由公式变成 $\sigma /({\mu }^{3/2}\sqrt{t})$。若 $\mu$ 和 $\sigma$ 需从数据估计，还要把参数估计的相合性与所选观测方案说明清楚；按固定时间截断的最后一个间隔通常未完成，不能把它当成完整周期无条件纳入样本。