M/M/1 排队模型

当系统已有很多人时，下一次变化仍是以速率 $\lambda$ 增加一人、以速率 $\mu$ 减少一人。人数多不会让单个服务台变快。若两速率接近，偶尔积累的长队需要很久才能消退。

逐边平衡给出 ${\pi }_{n+1}=\rho {\pi }_n$，所以 ${\pi }_n={\pi }_0{\rho }^n$。几何级数只有 $\rho <1$ 时可归一化，且 ${\pi }_0=1-\rho$。服务者忙的概率因而为 $P(N>0)=\rho$，不是每时每刻都忙相同比例。

由几何级数求导，$EN=\rho /(1-\rho )$。正在服务的人数是 ${\mathbf{1}}_{\{N>0\}}$，故 $L_q=L-\rho ={\rho }^2/(1-\rho )$。再用Little 定律公理库Little 定律Little law从同一批顾客的占用面积推出平均人数等于有效到达率乘平均逗留时间，并明确系统边界。分别除以有效到达率 $\lambda$，得到 $W,W_q$，并核验 $W-W_q=1/\mu$ 为平均服务时间。

设 $\lambda =\mu /2$，即平均负载一半。则 $L=1$、$L_q=1/2$，平均总逗留时间 $W=2/\mu$，其中等待 $W_q=1/\mu$。所以平均服务者有一半时间空闲，顾客的平均等待仍与实际服务时间一样长。原因是空闲时段不能预先替未来顾客服务，而聚集到达会形成等待。

若将到达率提高到 $\lambda =3\mu /4$，服务能力不变，$W$ 增为 $4/\mu$，是原来的两倍。若关注尾部人数，几何分布还给出 $P(N\ge k)={\rho }^k$；这比只报告平均值更能看见长队风险。

$\lambda =\mu$ 时，形式权重恒为一，总和发散，链零常返而无平稳概率；$\lambda >\mu$ 时有向上漂移，也无平稳概率。将 $1/(\mu -\lambda )$ 代入非正分母得到的未定义值或负数，不是可用的平均等待答案。

若服务时长固定而均值仍为 $1/\mu$，人数过程一般不再是这条生灭链，平均等待也改变。若有多个服务者，总完成速率在低人数状态为 $n\mu$，高人数状态才饱和为服务台数乘 $\mu$，不能只把本页 $\mu$ 换成总能力而保留所有公式。

M/M/1 提供稳定性和拥堵的基准，但它的精确公式依赖完整模型。保留 Poisson 到达、改成一般服务时长后，Pollaczek–Khinchine 平均公式公理库Pollaczek–Khinchine 平均等待公式Pollaczek-Khinchine mean formula在稳定 M/G/1 队列中，将平均等待分解为剩余服务与前方顾客工作量，显出二阶矩效应。会显示服务时间二阶矩的作用。把多个这样的节点按概率路由连接，需另核验Jackson 网络公理库Jackson 排队网络Jackson network在开放指数排队网络中先解流量方程，再以乘积形稳态连接各节点负载。条件。