Little 定律 | Codeboy's Blog

形式陈述

一个系统里的平均人数、每单位时间通过的人数、每人的平均逗留时间，有什么无需指定服务分布的关系？Little 定律给出 $L=\lambda W$ ，但三个量必须描述同一系统和同一批顾客。

设顾客集合可数，到达时刻在每个有界时间区间内局部有限。顾客 $i$ 在有限时刻 $a_i$ 进入、 $d_i$ 离开，逗留时间 $W_i=d_i-a_i\ge0$ ，系统人数为过程 $N(t)=\sum_i\mathbf1_{\{a_i\le t<d_i\}}$ 。一个清楚的路径版本假设：

$A(T)/T\to\lambda\in(0,\infty)$ ，其中 $A(T)$ 是 $(0,T]$ 的有效进入数；
这些进入顾客的平均完整逗留时间 $A(T)^{-1}\sum_{0<a_i\le T}W_i\to W<\infty$ ；
跨越观察区间两端而遗漏或多计的总顾客时间为 $o(T)$ 。

则时间平均人数满足

L=\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T N(t)\,dt=\lambda W.

期望版本则假设带逗留时间标记的到达点集在整条实线上平稳，强度 $\lambda=E\#\{i:0<a_i\le1\}\in(0,\infty)$ ，并定义到达顾客的标记分布 $F_{\rm arr}(B)=\lambda^{-1}E\sum_{0<a_i\le1}\mathbf1_{\{W_i\in B\}}$ 。若 $E^{\rm arr}W=\int wF_{\rm arr}(dw)<\infty$ ，则 $EN(0)=\lambda E^{\rm arr}W$ 。上标表示从有效到达顾客的角度取平均。它不是在随机时刻挑一位在场顾客再求逗留时间，后者会产生长度偏倚。

直觉

画出每位顾客从进入到离开的水平线段。按时间竖切，线段条数就是 $N(t)$ ；逐位顾客横向相加，每段长度就是 $W_i$ 。因此同一个“人数乘时间”面积可有两种算法。

对时间 Lebesgue 测度与顾客索引的计数测度使用Tonelli 定理，得到准确的有限窗口恒等式

\int_0^T N(t)dt=\sum_i |[a_i,d_i)\cap[0,T]|.

把裁剪后的线段换成窗口内进入者的完整线段，只差两端边界贡献。除以 $T$ ，边界假设使差异消失，剩下 $(A(T)/T)\cdot(A(T)^{-1}\sum W_i)$ 。这就是证明，不需要 Poisson 到达、指数服务、独立顾客或先来先服务。

期望版本也来自同一个面积。平稳性使期望标记计数测度沿到达时间平移不变，故它等于 $\lambda\,da\,F_{\rm arr}(dw)$ ：先在单位时间区间定义上面的标记律，再由区间可加性和平移不变性推广到任意区间。对非负占用指标再用 Tonelli，

EN(0) =\lambda\int_{[0,\infty)}\int_{\mathbb R} \mathbf1_{\{a\le0<a+w\}}\,da\,F_{\rm arr}(dw) =\lambda\int w\,F_{\rm arr}(dw).

这同时说明所需的可积性是到达顾客的平均完整逗留时间，不是任意一种“平均等待”。

例子与边界

考虑一份精确定义的周期运行记录：每 $4$ 分钟重复一次，两位顾客分别在本周期第 $0$ 、 $1$ 分钟进入，第 $3$ 、 $4$ 分钟离开。人数依次在长度 $1,2,1$ 的三段上为 $1,2,1$ ，周期占用面积为 $1+4+1=6$ 人分钟。

于是 $L=6/4=3/2$ 人，有效到达率 $\lambda=2/4=1/2$ 人每分钟，两人的逗留时间都为 $3$ 分钟，所以 $\lambda W=(1/2)\cdot3=3/2$ 人。这条记录只用于演示面积守恒，不需假装来自某种指数排队模型。

若只统计排队区人数 $L_q$ ，对应时间必须是开始服务前的等待 $W_q$ ；若把服务中的人也计入 $L$ ，则 $W$ 必须包含服务时长。把 $L_q$ 写成 $\lambda W$ 而非 $\lambda W_q$ ，混用了系统边界。

有拒绝或流失时，外部尝试率不一定等于有效进入率。若一个有限容量系统拒绝了一部分顾客，而 $W$ 只对被接纳者统计，应使用被接纳率。若进入后会放弃，放弃也是离开事件；只统计成功服务者的时间，便不再匹配所有进入者。

不稳定系统可能没有有限 $L$ 或 $W$ 。即使在有限窗口中算出三个样本均值，也不能忽略仍未离开者的完整逗留时间而宣称精确等式。期望版本与样本路径版本同样需要说明平均和边界的合法性。

推论与应用

Little 定律适合交叉核验排队公式和测量口径，却不单独预测等待时间；需要另外的模型给出 $L$ 、 $\lambda$ 、 $W$ 中至少两个量。M/M/1提供一个可完整推导的例子；在网络中，应区分外部客户的全程时间与每次访问节点的局部时间。

参考资料

John D. C. Little, 1961，A Proof for the Queuing Formula: L = λW, Operations Research 9(3), 383–387。
Ward Whitt, Queueing Systems 9, 1991，A Review of L = λW and Extensions。

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