生灭过程

把状态轴在 $n$ 与 $n+1$ 之间剪开。稳态时左侧集合的总概率不能持续增加或减少，所以穿过唯一边界的两个方向流量必须相等。这使一般的“总流入等于总流出”简化为一条边一条边的递推。

从零态平衡得 ${\pi }_0{\lambda }_0={\pi }_1{\mu }_1$；递推便得到 ${\pi }_n={\pi }_0{w}_n$。局部方程只决定相对权重，归一化还要有有限的总质量。如果总和发散，写出一串正权重并不等于找到了概率分布。

反方向也不能只凭符号 $\pi Q=0$ 跳过过程条件。这里可利用逐边速率对称：对固定时长 $t$ 内的一条有限跳转路径，乘上初态权重 ${\pi }_i$ 后，其停留时间密度和跳转速率乘积与反向路径相同。速率因子由 ${\pi }_n{\lambda }_n={\pi }_{n+1}{\mu }_{n+1}$ 逐边相消，指数停留因子只把同一状态的停留段反序。对全部有限跳转路径积分，非爆炸保证这些路径承载全部概率，因此

这是每个固定 $t$ 的离散转移核 $P(t)$ 所满足的细致平衡公理库可逆链与细致平衡Reversible Markov chain · Detailed balance由相反方向概率流逐边平衡所刻画的 Markov 链时间反演对称性。；对 $i$ 求和即得 $\pi P(t)=\pi$。所以在已声明的非爆炸条件下，可归一化权重确实给出平稳过程，而不只是形式解。

设外部按速率 $\lambda >0$ 的 Poisson 过程加入，每个现有个体独立以速率 $\mu >0$ 离开，所有离开时钟也与到达过程独立。人数为 $n$ 时总离开速率为 $n\mu$，因此 ${\lambda }_n=\lambda$、${\mu }_n=n\mu$。这时

稳态是 Poisson 分布，均值 $\lambda /\mu$。尽管出发速率随 $n$ 无界，链仍不爆炸：有限时间内外部到达数有限，离开次数不超过初始人数加到达人数。无界速率只意味着不能直接使用有限共同速率的均匀化，并不自动意味着爆炸。

若改为只有一个服务者，忙时总离开速率为固定 $\mu$，则 $w_n=(\lambda /\mu {)}^n$。级数只有在 $\lambda <\mu$ 时收敛，得到M/M/1 队列公理库M/M/1 排队模型M/M/1 queue从单服务台的生灭速率推出几何稳态、负载条件与平均等待，区分队内和系统内指标。的几何稳态。这两个模型只改动了死亡率的含义，拥堵行为却完全不同。

若有容量上限 $K$，应令 ${\lambda }_K=0$ 并把状态空间限制为 $0,\dots ,K$，归一化总和自动有限。但外部尝试到达率与被接纳的有效到达率不再相同，计算吞吐量或 Little 定律时必须使用同一个系统边界。

当 $Z=\mathrm{\infty }$，只能推出没有可归一化的平稳概率，不能仅凭这一点区分零常返与暂留。正速率、不可约与非爆炸是不同的条件，也不应被一个“稳定”词汇代替。

相邻结构使稳态计算变成乘积与求和，适合单服务台、多服务台、有限容量和人口模型。服务时间不是指数时，仅人数一般不再满足 Markov 性；若仍想分析等候时间，应转向Lindley 递推公理库Lindley 等待时间递推Lindley recursion逐位顾客更新未完成工作量，用反射随机游走解释单服务台等待及其稳定条件。，而不是强行调整本页某个常数速率。