连续时间链的均匀化

共同的时钟在每个状态都响得足够快。状态 $i$ 接受实际离开的比例为 $q_i/\nu$，因此真正离开速率仍为 $q_i$；在 $q_i>0$ 时，接受以后到 $j$ 的比例仍为 $q_{ij}/q_i$；$q_i=0$ 时所有候选都被跳过。短时间内向 $j\ne i$ 跳的概率是 $\nu h{R}_{ij}+o(h)=q_{ij}h+o(h)$，核验了目标速率。更直接地，在仍停于 $i$ 的阶段，候选时钟的每次响声以固定概率 $q_i/\nu$ 被接受，所以首个实际离开的生存概率是

若 $q_i>0$，首个被接受标签的目的地概率是 $q_{ij}/q_i$，并与等待时间独立；离开后按新状态重复。这逐段恢复原链的停留与跳转构造。有限时间内候选点数有限，实际跳变数更少，因此同时证明非爆炸，而不只是核对局部速率。

级数也有概率解释：先按 Poisson 分布抽出时钟响了几次，再运行相应步数的离散链。每个 $R^k$ 都是概率转移矩阵，混合以后仍然合法。

考虑每小时速率矩阵

取 $\nu =2$，则 $R=\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1& 0\end{array}\right)$。从第一态开始，分布向量依次为 $v_0=(1,0)$、$v_1=(1/2,1/2)$、$v_2=(3/4,1/4)$。这些是候选时钟计步后的分布，不是固定一小时后的分布。

一小时后应按 $w_k=e^{-2}{2}^k/k!$ 加权。只保留前三项得到

其总质量为 $5e^{-2}$，不足一，遗漏质量恰是 $P(\mathrm{Pois}(2)>2)=1-5e^{-2}$。Poisson 尾概率同时给出误差界：任意事件概率的截断误差都不超过它。

若把部分和归一化为 $q$，令遗漏质量为 $r$，则完整分布可写成 $p=(1-r)q+r{q}_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}}$，故事件概率误差仍不超过 $r$，总变差距离也不超过 $r$，而 $L^1$ 误差至多为 $2r$。应区分这个界与未归一化部分和恰好缺失质量 $r$ 的性质。

可执行的计算步骤 ​

以下可执行矩阵循环限于有限状态空间。给定概率行向量 $p_0$、时刻 $t\ge 0$ 与容许误差 $0<\epsilon <1$，先选 $\nu >0$ 且 $\nu \ge \underset{i}{max}{q}_i$，再选 $K$ 使 Poisson 尾概率不超过 $\epsilon$。置 $v_0=p_0$、$w_0=e^{-\nu t}$；循环累加 $w_k{v}_k$，并更新 $v_{k+1}=v_{k}R$、$w_{k+1}=w_k\nu t/(k+1)$。

循环不变量是 $v_k=p_0{R}^k$ 且 $v_k$ 为概率向量，已累加向量为非负的次概率向量，缺失质量等于尚未加上的权重。对 $d$ 个状态、稀疏 $R$ 含 $m$ 个非零元，每步耗时 $O(m)$，总计 $O((K+1)(m+d))$；工作向量用 $O(d)$ 空间，另需存储矩阵。若要求完整转移矩阵，计算成本会不同。

$\nu t$ 很大时，$e^{-\nu t}$ 可能下溢，应从 Poisson 权重的众数附近稳定地向两侧递推或分时间段计算。若 $\underset{i}{sup}{q}_i=\mathrm{\infty }$，不存在本算法所需的有限共同速率；截断状态空间必须另控制逃出截断边界的误差。

均匀化既是过程构造，也是保持概率结构的数值算法。它与Kolmogorov 方程公理库连续时间链的 Kolmogorov 方程Kolmogorov forward and backward equations由短时间生成矩阵和半群性质推出前向与后向方程，明确行向量约定和无限状态边界。得到同一个半群，但误差来源表达为可计算的 Poisson 尾。选择远大于最大出发速率的 $\nu$ 不会改变精确答案，却会增加无效自环和运算次数。