连续时间链的 Kolmogorov 方程

前向方程固定起点，观察最后一小段：时刻 $t$ 在状态 $k$ 的概率乘以从 $k$ 流入终点 $j$ 的速率，再对 $k$ 求和。后向方程则先看起点的第一小段跳向哪里，之后再运行剩余时间。它们分别沿路径的尾部和头部分解同一概率。

证明也反映这一顺序。由 $P(h)=I+hQ+o(h)$ 和半群性质，

交换 $P(t)$ 与 $P(h)$ 的时间分解次序，便得后向式。对 $t>0$，再用 $P(t)-P(t-h)=P(t-h)(P(h)-I)$ 得到相同的左导数；有限随机矩阵的有界性和 $P(h)\to I$ 保证这里 $P(t-h)\to P(t)$。这是导数公理库导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。的极限计算，不是任意矩阵之间都可交换；$P(t)$ 与 $Q$ 可交换来自同一个齐次半群。

对工作/维修链，令故障速率 $\alpha >0$、修复速率 $\beta >0$，从工作态出发。设 $d(t)=P(X(t)=D)$。流入维修态的概率速率为 $\alpha (1-d(t))$，流出为 $\beta d(t)$，所以

乘积分因子 $e^{(\alpha +\beta )t}$ 后积分，得到

它在 $t=0$ 的导数为 $\alpha$，符合局部故障速率；长期趋于 $\alpha /(\alpha +\beta )$，符合停留时间占用比。完整矩阵为

每行和为一、非对角元非负，都是解完后应检查的概率约束。

短时间近似 $I+hQ$ 未必在大步长下合法：若 $h>1/\alpha$，工作态对角元 $1-\alpha h$ 会为负。它是局部 Euler 近似，不是精确转移矩阵。精确的 $e^{tQ}$ 则保持非负性与行和。

非齐次链 $Q(t)$ 的前向方程为 ${\partial }_{t}P(s,t)=P(s,t)Q(t)$。若不同时刻的生成矩阵不交换，不能写成 $\exp ({\int }_s^{t}Q(u)du)$；时间顺序会影响结果。

有限链的不变分布可由 $\pi Q=0$、$\sum _i{\pi }_i=1$ 求得，它保证 $\pi e^{tQ}=\pi$。这只是在求稳态；从任意初态是否收敛仍需链的结构条件。数值计算若想保留概率非负性并给出截断误差，可采用均匀化公理库连续时间链的均匀化Uniformization · Randomization method for CTMC · 均匀化用共同 Poisson 时钟和自环表示有界速率连续时间链，并以 Poisson 尾控制数值截断误差。的 Poisson 加权级数。