圆锥的极点极线与对偶

对偶点只是直线的系数，不是接触点 ​

原平面中的切线$\ell$，到对偶平面里变成点$[\ell ]$。它在原圆锥上的接触点却是$[H^{-1}\ell ]$。两者分别位于两个平面；使用相同三元组符号不能省去这次逆矩阵转换。

对偶把“许多点共线”变成“许多直线共点”。例如三个线系数${\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3$在对偶平面共线，意思是存在非零$p$，使三份等式${\ell }_i^{\mathsf{T}}p=0$同时成立；回到原平面，这正是它们经过同一个$p$。

切线公式为什么不是记忆规则 ​

固定圆锥点$p$，取与$p$线性无关的$v$。经过$p$的直线上，点可写为$[sp+tv]$，限制方程为

已知根$p$对应$t=0$。它是二重根当且仅当$B(p,v)=0$，这恰好要求直线的整个二维向量空间包含在$p^{\perp }=\{x:B(p,x)=0\}$中。$Hp\ne 0$使$p^{\perp }$本身就是二维，因此唯一切线是式(3)。

还需排除限制式恒为零。若某个二维子空间$W$上的二次式恒零，由特征不为2的极化，$B$在$W\times W$上也恒零。于是可逆线性映射$H$把二维$W$送进一维湮灭子$\{\ell :{\ell }^{\mathsf{T}}W=0\}$，不可能。因此非退化平面圆锥不含整条直线，式(6)的二重交点确实有定义。

最后，把切线系数写为$\ell =Hp$，就有

这同时证明式(4)和逆接触点公式，不只是“切线应该也画成一条曲线”的直观。

两条有理切线、两条无理切线与没有实切线 ​

在标准圆锥$XZ=Y^2$上取

点$P=[a:b:c]$的极线为$cX-2bY+aZ=0$。将圆锥参数$[s^2:st:t^2]$代入，接触点参数必须满足

极线上的圆锥点，恰好是从$P$引出的切线的接触点：由式(2)，$R$在$P$的极线上，当且仅当$P$在$R$的切线上。

• 对$P=[-1:0:1]$，式(7)为$s^2-t^2=0$，接触点是$[1:1:1]$与$[1:-1:1]$。两切线$X-2Y+Z=0$和$X+2Y+Z=0$都经过$P$，极线为$X-Z=0$
• 对$P=[-2:0:1]$，式(7)为$s^2-2t^2=0$。在实数域有两个接触点，在有理数域没有接触点，因而没有从$P$出发的有理系数切线。极线$X-2Z=0$本身仍完全有理
• 对$P=[1:0:1]$，式(7)为$s^2+t^2=0$，没有实参数，所以没有实切线；复数域上则有两条

对一般实点$P$，二元式(7)的判别式为$4(b^2-ac)$。正、零、负分别给两条、一条、零条实切线；零的情形正是$P$在圆锥上。若某个首项系数为零，仍按齐次二元式计根，包括参数无穷远，不能只看一个仿射二次方程。

这份实数分类使用非空实圆锥先化到标准模型。若原方程在实数域没有点，例如$X^2+Y^2+Z^2=0$，极点极线依然存在，但没有实接触点或实切线供这份分类使用。

下图把第二个标准例通过前页的矩阵$M$送到$x^2+y^2=x+y$，外点成为$U=[2:-1:1]$。绿色极线仍有有理系数，两个接触点却需要$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$；蓝线与圆锥在标出的点相切。

奇异矩阵不会给可逆极性 ​

对退化方程$XY=0$，可取$H=\left(\begin{array}{ccc}0& 1/2& 0\\ 1/2& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。点$[0:0:1]$被送成零向量，它不是一条射影直线的系数；$H^{-1}$也不存在。此时仍可研究各分支的切线，但不能继续宣称式(1)给全平面的点线双射。

特征2中一般二次型的极化不含全部信息，本页的$H_0$甚至含不可用的$1/2$。有限域上的点线代数仍有价值，但必须保持已声明的奇特征条件。

割线上出现一对调和点 ​

取圆锥上的不同点$A,B$，再取它们连线上的$P\ne A,B$。选代表使$P=A+\lambda B$，其中$\lambda \ne 0$。由于圆锥不含直线，$B(A,B)\ne 0$。沿割线计算

故$P$的极线与割线交于$Q=A-\lambda B$。这里$Q\ne P,A,B$，因为特征不为2且$\lambda \ne 0$。

使用Möbius标定中的交比理路Möbius变换与圆域标定Möbius transformation · Fractional linear transformation · Linear fractional transformation在扩充复平面上完整定义分式线性变换，核验极点与逆、矩阵复合方向、广义圆保持和三点唯一标定。约定

其中行列式在这条割线的二维坐标中计算。以$A=(1,0)$、$B=(0,1)$代入，得到

这称为调和分割。它不说$P,Q$是欧氏中点或距离相等，而是说在任意射影坐标中，四点保留同一个比例不变量。

例如标准圆锥与$Y=0$交于$A=[1:0:0],B=[0:0:1]$。取$P=[1:0:-1]$，极线为$X-Z=0$，割线上的另一点$Q=[1:0:1]$恰组成这对调和点。

计算输出和域扩张 ​

已给$H$时，求极线只需一次矩阵向量乘法；求多个极点可先分解或求逆$H$再复用。尺寸固定时，这些都是固定次数的域运算，有理数位成本仍须计入数的长度。

求接触点多了一项任务：解式(7)的二元二次方程。线系数属于$K$不保证其与圆锥的交点也属于$K$。在$\mathbb{Q}$上，判别式是否为有理平方区分有理接触点与需要二次扩域的点；不能在输出中省掉这个域扩张条件。

在Pascal–Brianchon转换理路Pascal–Brianchon圆锥关联Pascal theorem for a conic · Brianchon theorem · Pascal's mystic hexagon · 帕斯卡六边形定理 · 布里昂雄定理证明非退化圆锥六点的对边交点共线及六切线的对角线共点，并以齐次叉积和行列式给出含无穷远点的关联与逆命题证书。中，先把六个圆锥点送成六条切线，再将共线证书转成共点证书。式(5)使同一份关联可以在便于计算的坐标中证明，再无歧义地送回原图。