Möbius变换与圆域标定

平移、旋转和缩放都保持圆。再允许一次倒数变换 $z\mapsto 1/z$，穿过原点的圆会变成直线；把直线看成经过无穷远的圆，这些操作便有统一的对象。

每个Möbius变换都能由这些简单动作拼出。$c=0$ 时它是仿射映射；$c\ne 0$ 时

从右到左，依次是平移、倒数、非零复数缩放以及平移。注意复倒数 $1/z=\overline{z}/|z{|}^2$ 还带有共轭方向变化，不能与仅作径向几何反演的 $1/\overline{z}$ 混写。

极点不是扩充平面上的断裂 ​

在普通有限坐标且 $cz+d\ne 0$ 时，直接按复导数理路复可微性Complex differentiability复差商在任意方向趋近时有同一极限的性质。计算

在极点附近，改用输出坐标 $1/T(z)=(cz+d)/(az+b)$，分母在那里非零，导数也非零。在输入无穷远附近，改写为 $T(1/\zeta )=(a+b\zeta )/(c+d\zeta )$；若输出也为无穷远，再取倒数。每种坐标中的分式都有非零导数。

所以式(1)在适当局部坐标中始终保角、保定向且可逆。它没有保持普通平面长度的义务：例如 $T(z)=2z$ 把所有长度加倍。对极点说“函数没有定义”，只说明还在使用不适合输出无穷远的有限坐标。

上半平面与单位圆盘 ​

记 $\mathbb{H}=\{z:\mathrm{Im}z>0\}$、$\mathbb{D}=\{w:|w|<1\}$。Cayley变换及其逆为

对 $z=x+iy$，

因此 $C(\mathbb{H})\subset \mathbb{D}$。逆式满足

从而确为双射。边界标定是 $C(0)=-1$、$C(1)=-i$、$C(\mathrm{\infty })=1$，而内部点 $i$ 被送到0。只验证边界圆像还不足以确定送入圆内还是圆外，上面的符号式同时解决了这一点。

将圆盘内任一点移到原点 ​

对 $a\in \mathbb{D}$，令

系数行列式是 $1-|a{|}^2>0$，分母在闭单位圆盘都非零。展开模方差得到

故它保持单位圆盘，并且 ${\phi }_a(a)=0$。直接代入可核

这里的逆不是 ${\phi }_a$ 自己；有些书把分子写成 $a-z$，其符号约定不同。后续复合应一直使用本页的 $z-a$ 版本。

把这些圆盘因子逐点相乘，会得到有限Blaschke乘积理路有限Blaschke乘积与圆盘真映射Finite Blaschke product · Proper holomorphic disk map · 有限布拉施克乘积从有限零点表构造圆盘有理自映射，证明真映射分类、按重数的原像数及边界相位速度，并区分相乘、复合与仅几乎处处的边界模一。。例如 $z{\varphi }_{1/2}(z)$ 有两个零点，边界绕两圈，不再单射；而 ${\varphi }_a\circ {\varphi }_b$ 仍是一次自同构。逐点相乘、函数复合与矩阵乘法的职责必须分清：有限乘积的次数在前者相加，在函数复合时相乘。

丢掉行列式条件会发生什么 ​

若取 $a=b=c=d=1$，分式 $(z+1)/(z+1)$ 在 $z\ne -1$ 恒为一。在 $-1$ 处是可约去的不定式，不是一个Möbius极点，整个映射也不可能双射。不能先假装四个系数任意，再用补一个无穷远值来修复退化。

边界值 $|a|=1$ 也使式(7)退化。例如 $a=1$ 时 $(z-1)/(1-z)=-1$，它不再把圆盘双射到圆盘。式(8)中的严格正因子正是防止这种退化的条件。

广义圆为什么保持 ​

一条广义圆是普通圆，或一条直线连同无穷远点。它的有限部分可以统一写成

$\alpha \ne 0$ 时完成平方得到正半径圆；$\alpha =0$ 时 $\beta \ne 0$，得到直线，并包含 $\mathrm{\infty }$。

平移及非零复数缩放显然保持这两类曲线。倒数变换令 $z=1/w$，乘以 $|w{|}^2$ 后，式(9)变为

判别量仍为 $|\beta {|}^2-\alpha \delta >0$。零点和无穷远按前面的补值规则交换，所以有限坐标中乘去 $|w{|}^2$ 不会丢掉应有的点。结合式(4)，所有Möbius变换都保持广义圆；源圆经过极点时，像圆才经过无穷远、成为直线。

例如 $|z-1|=1$ 经过0。在 $w=1/z$ 下，由 $|z{|}^2-z-\overline{z}=0$ 得 $1-w-\overline{w}=0$，即 $\mathrm{Re}w=1/2$。源圆上的0由像直线的无穷远点补上。

三个有序点唯一确定一个变换 ​

给互异的有限点 $z_1,z_2,z_3$，

依次送它们到 $0,1,\mathrm{\infty }$。若三点中含一个无穷远点，对应公式分别是

这不是对符号 $\mathrm{\infty }$ 直接做减法，而是先在式(10)中除去共同的大因子再取极限。

若目标互异三点为 $w_1,w_2,w_3$，同样构造把它们送到 $0,1,\mathrm{\infty }$ 的 $B$，则 $T=B^{-1}\circ A$ 实现指定标定。唯一性也直接可证：两种标定之商固定 $0,1,\mathrm{\infty }$；固定无穷远使它为仿射式，固定0使平移项为零，固定1使缩放系数为一，所以只能是恒等映射。

这一机制给出精确的构造与复核流程：检查两组三点各自互异，计算两个非退化矩阵，按正确次序相乘，再检查三点值和逆。若输入点重合，不能继续套公式并声称存在唯一变换。

第四个点何时仍与标定相容 ​

前三个有序点已经用完一个Möbius变换的自由度，第四点不能再任意指定。把扩充复平面写成齐次坐标$z=[z:1]$、$\mathrm{\infty }=[1:0]$；四个互异点$A,B,C,D$的交比约定为

每个行列式都用相应两列代表向量计算。互异性保证分母非零；单独缩放任何代表向量，在分子、分母中都乘同一个因子，所以交比与代表无关。若四点有限，式(11)就是

含无穷远点时直接用齐次式，不对$\mathrm{\infty }$作减法。可逆矩阵$M$使每个二阶行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。乘$\det M$，四个因子在比值中相消，因此交比保持。上述代数论证也适用于任意域$K$上的${\mathbb{P}}^1(K)$，此时使用$K$系数可逆矩阵，不涉及复导数。

两组互异有序四点可由同一分式线性变换逐点对应，当且仅当交比相同。必要性已经证明。充分性先使用前三点的唯一标定；再把共同的前三点送到$\mathrm{\infty },0,1$，第四点记为$[t:1]$，则

相同交比强制第四点也相同，故原三点标定自动符合第四条件。这还说明四点互异时交比不为0或1。换点的次序一般会改变交比，不能在未固定顺序时只比较一个数字。

例如把$(0,1,\mathrm{\infty })$送到$(1,2,3)$，唯一变换为$T(z)=(3z+1)/(z+1)$。它把第四点2送到$7/3$。源四点的交比是$1/2$，目标$(1,2,3,7/3)$也是$1/2$；若把最后目标误写成$5/2$，交比变为$2/3$，所以不存在同时满足四份对应的Möbius变换。这里的拒绝是精确的兼容性判定，不是插值算法尚未找到系数。

在圆锥的极点极线理路圆锥的极点极线与对偶Conic polarity and duality · Pole and polar of a conic · 圆锥极性 · 对偶圆锥用非退化圆锥的矩阵在点和线间可逆转换，证明切线与对偶方程，并通过实切线数量和割线调和对核验域与坐标条件。中，割线的两个圆锥交点与一对极性关联点给出交比$-1$，称为调和分割。六点圆锥关联理路Pascal–Brianchon圆锥关联Pascal theorem for a conic · Brianchon theorem · Pascal's mystic hexagon · 帕斯卡六边形定理 · 布里昂雄定理证明非退化圆锥六点的对边交点共线及六切线的对角线共点，并以齐次叉积和行列式给出含无穷远点的关联与逆命题证书。则使用这里的三点标定机制归一化参数，再将其提升为整个射影平面的可逆变换。以上交比合同与四点分类参见Richard Earl，Projective Geometry，Oxford，2025，Definition26、Proposition27、Theorem28，印刷p.16。

Schwarz–Pick定理理路Schwarz–Pick收缩与取等刚性Schwarz–Pick theorem · Schwarz lemma · 施瓦茨–皮克定理证明圆盘全纯自映射的二点与导数收缩，刻画何时取等，并把两点插值化为可构造或可排除的不等式证书。会证明，圆盘的全部双全纯自映射恰为旋转与式(7)的复合。Möbius变换提供候选和精确公式，完整性则需要全纯函数的刚性，不能仅从有限个例子推出。