Gauss径向正交引理

两参数测地族给出正交性 ​

把初速度略改为 $v+sw$，考虑

$s$足够小时，所有 $0\le t\le 1$均有定义。每条固定 $s$的曲线都是测地线，所以 $D_{t}T=0$，且它的速度平方一直等于 $|v+sw{|}_p^2$。

Levi–Civita联络的无挠性给出 $D_{t}S=D_{s}T$，度量相容性于是给出

$t=0$时 $F(s,0)=p$与 $s$无关，故 $S(s,0)=0$。对 $t$积分，在 $s=0,t=1$处得到

而 $S(0,1)=(d{\exp }_p{)}_v(w)$，$T(0,1)=(d{\exp }_p{)}_v(v)$，这就是式(1)。证明只需要测地方程和联络的两个性质，不预先假定这些曲线最短。

曲线向侧面绕行要支付额外长度 ​

先考虑留在 $U_R$中的分段光滑曲线 $c$。把它写成正常坐标

在 $r(s)>0$处，$⟨\theta ,{\theta }^{\prime }{⟩}_p=0$。将 $v^{\prime }=r^{\prime }\theta +r{\theta }^{\prime }$代入式(1)，得到精确分解

第一项负责离中心变远或变近，第二项负责改变方向。第二项不能用来抵消第一项。

即使曲线经过中心，$r(s)=|v(s){|}_p$仍是绝对连续函数，式(3)的下界几乎处处成立；在中心处也可由 $(d{\exp }_p{)}_0=\mathrm{id}$直接得到相同估计。因此从 $p$走到 $q={\exp }_p(v)$，

径向测地线速度恒定，长度正好 $|v{|}_p$，所以它达到这一界。

离开球的路线为什么也不能抢先 ​

${\exp }_p$在更大的球 $B_{R_0}(0)$上仍是一一对应的，而 ${\bar{B}}_R(0)$是紧集。因此 $U_R$的边界恰为 ${\exp }_p(\{u:|u{|}_p=R\})$。

任何从 $p$出发、曾离开 $U_R$的连续分段光滑曲线，都有第一次到达这条边界的时刻。在此之前应用式(4)，再取到该时刻的极限，已经走了至少 $R$。由于目标点满足 $|v{|}_p<R$，这种路线严格长于径向路线。这一步排除了“先出小球再走捷径”的可能。

什么时候取等号 ​

若一条曲线的长度恰为 $|v{|}_p$，它首先不能离开球。式(4)取等要求 $r$不下降；式(3)取等要求角向项为零。正常坐标中的 $d{\exp }_p$可逆，所以只要 $r>0$，便有 ${\theta }^{\prime }=0$。

因此曲线离开中心后只能沿同一条射线向外走，不能折返或改变方向。分段光滑情形下，这个几乎处处的结论由绝对连续性推出整段成立。若 $q=p$，最短长度为零，只能是常值曲线。

球面：径向长度保持，圆周长度改变 ​

半径为 $a$的圆球 $S_a^2\subset {\mathbb{R}}^3$上，对 $p\in S_a^2$和 $v\in T_p{S}_a^2$，令 $r=|v|$。当 $v\ne 0$，

在 $0<r<\pi a$的极坐标中，拉回度量为

径向系数为1，交叉项为零，正好对应Gauss引理。角向系数却不等于欧氏极坐标的 $r^2$；例如 $r=\pi a/2$时，球面纬圈长度为 $2\pi a$，而切空间对应圆周长度为 ${\pi }^{2}a$。

在 $r=\pi a$时，所有方向都到达对跖点，角向微分为零。式(1)仍成立，但指数映射不再是一一对应的正常坐标。径向恒等式本身不会阻止这种合并。

图中取 $a=2,r=\pi$，两边使用各自切平面的正交标准坐标及同一长度比例；它画的是微分对向量的作用。

正常球不一定对任意两点都唯一最短 ​

在单位球面，以北极为中心取半径 $3\pi /4$的正常球。赤道上的一对对跖点都距北极 $\pi /2$，所以都在球内。它们之间却有多条最短半大圆。

因而“中心到每一点有唯一径向最短连接”不能换成“球内任意两点都有唯一最短连接”。后一种强凸性质还要进一步缩小邻域或另作证明。

局部等距也不保证全局单射 ​

周长为 $\ell$的平坦圆柱可写为 ${\mathbb{R}}^2/(\ell \mathbb{Z}\times \{0\})$。其指数映射为平面向圆柱的投影，处处保持整个切空间的内积，但相差 $(\ell ,0)$的向量仍会落到同一点。

这比Gauss引理更强的局部性质，也不能给出全局唯一性。Jacobi场理路Jacobi 场与共轭点Jacobi field · Conjugate point从测地线变分推导 Jacobi 方程，证明它给出固定端点能量 Hessian 的核，并完整计算球面弧长跨过 π 时的正、零、负方向与真实变分。页的圆柱例进一步说明：不存在共轭点仍不能排除绕行造成的全局竞争。

小距离可以用正常坐标精确读出 ​

对上面选定的 $R$，其实有

正向包含来自式(2)。反向包含也由第一次出球论证得到：若 $q\notin U_R$，每条从 $p$到 $q$的路线在出球前已长至少 $R$，故距离不小于 $R$。所以这里的“正常球”确实是Riemann距离球，不只是坐标球的一个名字。

还可逐渐扩大半径，只要指数映射在稍大的闭包附近仍为微分同胚，同样的证明就继续有效。边界处可能发生方向合并或不同测地线相遇，不能从内部结论直接推出边界唯一性。

全局存在性证明所需的局部输入 ​

Hopf–Rinow定理理路Hopf–Rinow完备性定理Hopf-Rinow theorem · Hopf–Rinow theorem · Hopf–Rinow定理 · 测地完备性定理在有限维连通无边界Riemann流形上证明度量完备、测地完备、单点指数映射全定义和闭有界集紧等价，并构造全局最短连接，分清存在、唯一与边界条件。将使用这里的两个输出：小距离球面紧，以及中心到球面点的径向连接确实最短。它再结合完备性，把一段局部最短连接延长成连接任意两点的全局极小测地线。

可在全局测地线证书终点中先核球面的径向与角向长度，再核圆柱不同提升的长度。前者检查正交分解，后者检查同一终点的全局竞争，两项计算承担不同的任务。