Jacobi 场与共轭点

把整族测地线对参数求导 ​

取光滑映射 $F:(-\epsilon ,\epsilon )\times I\to M$，使每条 $t\mapsto F(s,t)$ 都是仿射参数测地线，且 $F(0,t)=\gamma (t)$。记 $T={\partial }_{t}F$、$S={\partial }_{s}F$，并令 $J(t)=S(0,t)$。这些向量是定义在参数域上的拉回切丛 $F^{\ast }TM$ 的截面：在每个 $(s,t)$，向量属于 $T_{F(s,t)}M$，$D_s,D_t$ 则是沿映射的协变微分。这样定义不要求 $F$ 为浸入；即使某个端点处所有曲线相交、$S=0$，运算仍有意义。

Levi–Civita 联络公理库Levi–Civita 存在唯一性定理Levi-Civita connection · Fundamental theorem of Riemannian geometry每个 Riemann 度量唯一确定同时无挠且与度量相容的切丛联络。无挠，故 $D_{s}T=D_{t}S$。这可直接从坐标式看出：二阶偏导交换，而 Christoffel 符号的两个下指标对称。参数域的坐标方向彼此交换，拉回联络的曲率恒等式因此给出

每条曲线都满足 $D_{t}T=0$，于是右端等于 $-D_t^{2}S$。在 $s=0$ 限制后，恰得 Jacobi 方程。这就是测地线方程的一阶线性化；曲率项来自两个协变微分不能交换，而非额外施加的外力。

两个初值分别控制什么 ​

沿 $\gamma$ 选一个平行正交标架，把 $J$ 的分量写成向量 $j(t)$，方程成为 $j^{″}+A(t)j=0$，其中 $A(t)$ 是光滑矩阵。线性常微分方程公理库常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。的初值唯一性说明，$J(0)$ 与 $D_{t}J(0)$ 唯一决定整个场。对上述变分，

前者是起点位移，后者是初速度的协变变化。同一起点出发意味着 $J(0)=0$；只改变初速度方向给出法向初值，只改变速率则可产生沿 $T$ 的分量。

反过来，给定任意 $A,B\in T_{\gamma (0)}M$，可选择起点曲线 $p(s)$ 使 $p(0)=\gamma (0)$、$p^{\prime }(0)=A$，再沿它选择初速度场 $v(s)$，使 $v(0)=T(0)$、$D_{s}v(0)=B$。例如在沿 $p$ 的平行标架中，让 $v(s)$ 的分量等于 $v(0)$ 的分量加 $sB$ 的分量。用初值 $(p(s),v(s))$ 解测地线方程，解对初值的光滑依赖便给出所需变分。该构造至少在一个共同时间区间成立；若基准解在指定紧时间段上存在，缩小 $s$ 的范围即可覆盖该段。由唯一性，产生的场就是指定初值的 Jacobi 场。

单位球面：从经线到首次共轭时间 ​

在 $S^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 上取

固定 $s$ 时，$|{\partial }_{t}F|=1$ 且 ${\partial }_t^{2}F=-F$；加速度完全垂直球面，切向投影为零，所以每条曲线都是单位速大圆。基准经线与变分场为

$E$ 始终与 $\gamma$ 正交，因而切于球面；它的环境导数为零，所以也沿 $\gamma$ 平行。于是 $D_t^{2}J=-J$，与 $R(J,T)T=J$ 精确抵消。初值是 $J(0)=0$、$D_{t}J(0)=E(0)$，而 $J(\pi )=0$。北极与南极处 ${\partial }_{s}F=0$，恰是前面不能把变分默认成浸入的原因。

找到这一个场，只证明 $\pi$ 是共轭时间。要证明它是首次，还须排除其他场更早消失。$T,E$ 构成沿 $\gamma$ 的平行正交标架，将任意场写为 $uT+vE$，曲率公式给出 $u^{″}=0$、$v^{″}+v=0$，所以所有 Jacobi 场恰为

$J(0)=0$ 强制 $a=c=0$。若还在某个 $\tau >0$ 消失，正交分量必须分别为零，即 $b\tau =0$、$d\sin \tau =0$。第一式给 $b=0$，非零场则要求 $d\ne 0$，故 $\tau$ 必须是 $\pi$ 的正整数倍。单位球面上的首次共轭时间因此恰为 $\pi$。

无穷小位移与有限距离 ​

Jacobi 场是对 $s$ 求导的结果。在任一可用的局部坐标中，固定 $t$ 有 $F(s,t)-F(0,t)=sJ(t)+O(s^2)$，其中等式应理解为坐标分量；一般流形上不能直接相减两个点。在本例的环境空间中可以相减，并精确算得

这是两点的弦长，而 $|s\sin t|$ 只是它关于小角度 $s$ 的首阶近似，也不等于球面内在距离的完整公式。一般地，$J(b)=0$ 只说明终点的一阶变化为零，并不保证所有变分曲线在 $b$ 精确相交。本例确实满足 $F(s,\pi )=(0,0,-1)$，这是经线族额外的对称性。

无共轭点也可能失去全局最短性 ​

在常截面曲率 $\kappa$ 的空间中，单位速测地线的平行单位法向场 $E$ 给出解 $J=fE$，其中

其解在 $\kappa =0$ 时为 $t$，在 $\kappa <0$ 时为 $\sinh \left(\sqrt{-\kappa }t\right)/\sqrt{-\kappa }$，均无正零点。这个局部微分结论不决定全局路径竞争。

例如周长为 $L$ 的平坦圆柱 $(\mathbb{R}/L\mathbb{Z})\times \mathbb{R}$ 具有度量 $d{x}^2+d{y}^2$，曲率为零，平行标架中的所有 Jacobi 场都是 $A+tB$，所以不存在共轭时间。但沿水平单位速测地线从 $(0,0)$ 走到 $(L/2,0)$，顺逆两个方向的半圈同长。任意连接路径提升到平面后，端点横坐标为 $L/2+kL$，长度至少为该数的绝对值；最小值 $L/2$ 正好由这两条直线达到。超过半圈而尚未走满一圈时，反方向弧的长度 $L-t<t$，原弧就不再最短。这里的割点来自不同路径之间的全局竞争，尽管 Jacobi 场没有双端零点。

固定端点能量的 Hessian ​

现在允许变分曲线不再是测地线，只要求端点固定。取仿射参数测地线 $\gamma :[0,L]\to M$，其中 $L>0$；一般情形的 $L$ 是参数区间长度，下面球面部分另取单位速率。令 ${\mathcal{V}}_0$ 为沿 $\gamma$、在两端为零的光滑向量场空间。定义指标形式

曲率的成对对称性使 $⟨R(V,T)T,W⟩=⟨R(W,T)T,V⟩$，所以 $I$ 是对称双线性形式。本页把 $I$ 定义在全部 ${\mathcal{V}}_0$ 上，讨论能量 $\mathcal{E}(c)=\frac{1}{2}{\int }_0^L|\dot{c}{|}^{2}dt$；若讨论长度的第二变分，切向重参数化还需单独处理。

测地线页的指数变分公理库测地线Geodesic由平行速度和固定端点能量的一阶变分刻画测地线，区分仿射参数、长度驻定与全局最短，并为 Jacobi 第二变分构造精确固定端点的变分。表明，任意 $V,W\in {\mathcal{V}}_0$ 都能由精确固定端点的两参数变分 $F(s,r,t)$ 实现，满足 ${\partial }_{s}F{|}_{0,0}=V$、${\partial }_{r}F{|}_{0,0}=W$。记 $S={\partial }_{s}F$、$U={\partial }_{r}F$、$T={\partial }_{t}F$。从该页一阶变分出发，

再对 $r$ 求导，在基准测地线处 $D_{t}T=0$，故涉及 $D_{r}S$ 的项消失。无挠与曲率恒等式给

因此

分部积分的边界项因 $V(0)=V(L)=0$ 消失。这还证明结果只依赖一阶变分场，与两参数族的其他高阶选择无关。特别地，任意固定端点一参数变分的能量二阶导数为 $I(V,V)$。

Jacobi 场恰好是双线性核 ​

对 $V,W\in {\mathcal{V}}_0$，另一次分部积分给

于是双线性核

恰为双端为零的 Jacobi 场。

一个方向是直接代入 Jacobi 方程。反向令 $A=D_t^{2}V+R(V,T)T$。若它在内点非零，取支于该点附近、非负的光滑 $\eta$，令 $W=\eta A$，则式 (3) 变成 $I(V,W)=-\int \eta |A{|}^2<0$，矛盾。端点由连续性补上。因此

这里必须检验对所有 $W$ 的配对。对不定二次形式，$I(V,V)=0$ 可能只是正、负贡献相消，并不等于 $V$ 位于核中。球面超过首个共轭时间后的例子会明确展示这一点。

一个保留最佳常数的区间不等式 ​

对任意光滑实函数 $f:[0,L]\to \mathbb{R}$，若 $f(0)=f(L)=0$，则

等号恰在 $f(t)=c\sin \left(\pi t/L\right)$ 时成立。

令 $h(t)=\sin \left(\pi t/L\right)$，在内部写 $f=hg$。由于 $h$ 在两端只有简单零点，而 $f$ 也在两端为零，商 $g$ 光滑延伸到闭区间。例如在零端用 $f(t)=t{\int }_0^1{f}^{\prime }(\theta t)d\theta$，并对 $h$ 同样分解，即可看见商的光滑性。展开平方后分部积分，使用 $h^{″}=-(\pi /L{)}^{2}h$ 及边界 $h{h}^{\prime }{g}^2=0$，得到

右侧为零时，$h>0$ 的内部有 $g^{\prime }=0$，所以 $g$ 为常数。这同时证明最佳常数与等号条件，无须先引用 Fourier 展开。

球面弧长在 $\pi$ 前后的三种情况 ​

沿前面的单位速大圆 $\gamma (t)=(\sin t,0,\cos t)$，现在取任意区间 $[0,L]$。平行正交标架仍是 $T,E$。任意 $V\in {\mathcal{V}}_0$ 写成 $V=uT+vE$，四个端点值均为零。球面曲率只作用在法向分量，故

由式 (5)，

若 $0<L<\pi$，右侧对任何非零 $V$ 都严格为正：若 $v\ne 0$，第二项为正；若 $v=0$ 而 $u\ne 0$，双端条件保证 $\int (u^{\prime }{)}^2>0$。因此 $I$ 正定。

若 $L=\pi$，式 (7) 非负。等号要求 $u^{\prime }=0$，再由端点得 $u=0$；式 (5) 的等号条件给 $v=c\sin t$。这些场确实满足 Jacobi 方程，故

原来的旋转经线族 $F(s,t)$ 对每个 $s$ 都有能量 $\pi /2$，其非零变分场 $J=\sin tE$ 正是此核方向。半大圆在此时仍是最短曲线，只是最短曲线不唯一。

若 $L>\pi$，取

它精确满足双端为零，并给出

所以只要超过 $\pi$ 就出现负方向，而不必等到终点恰为下一个共轭点。这里 $L/2$ 来自正弦与余弦平方的实际积分，不能在数值等式中省掉。

图横轴为 $L/\pi$，纵轴为归一化指标值 $2I(V_L,V_L)/L$。它画的是对每个 $L$ 选定的一个变分方向；$L<\pi$ 对所有方向正定的结论来自式 (8)，并非只靠这一条曲线推断。

负方向确实产生邻近的更短曲线 ​

令 $f(t)=\sin \left(\pi t/L\right)$。球面的指数映射将式 (10) 实现为

因为 $\gamma ,E$ 正交且都为单位向量，$F_s(t)\in S^2$；因为 $f(0)=f(L)=0$，两个端点对所有 $s$ 都固定。直接微分可得

这两个方向正交，所以

以及精确能量差

当 $L>\pi$，式 (10) 使足够小的非零 $s$ 满足 $\mathcal{E}(F_s)<L/2$。再用测地线页的长度—能量不等式，

所以这些曲线不仅能量更小，长度也确实小于 $L$，并且随 $s\to 0$ 光滑趋于原弧。

在临界值 $L=\pi$，式 (11) 与旋转经线族虽然具有同一个一阶场，却有不同的高阶行为：式 (12) 此时给

而旋转经线族的能量恒定。第二变分为零只固定二阶信息，不保证任意实现该场的曲线族都保持能量。

零二次值、共轭终点与最短性不能混为一谈 ​

取 $L=3\pi /2$，两个法向模式为

直接用三角函数正交性得到

所以 $V=\sqrt{7}{W}_1+\sqrt{5}{W}_2$ 满足 $I(V,V)=0$，但

它不属于双线性核，也不是 Jacobi 场。前面全部 Jacobi 解还表明 $L=3\pi /2$ 不是共轭时间；此时指标形式不定，但核仍为零。

最后核对短弧与临界半大圆的实际最短性，不从 Hessian 的符号直接跳到全局结论。设 $0<L\le \pi$，$p=\gamma (0)$，取任意相同端点的光滑曲线 $c$。其极角 $\alpha (t)=\arccos ⟨p,c(t)⟩$ 满足 $\alpha (0)=0,\alpha (L)=L$。在 $0<\alpha <\pi$ 处，

因为 $p$ 在 $T_{c(t)}{S}^2$ 上的投影长度恰为 $\sin \alpha$。为处理经过两极的时刻，可先将极角截断在 $[\epsilon ,\pi -\epsilon ]$；截断函数沿曲线绝对连续，几乎处处仍满足同一导数界，再令 $\epsilon \downarrow 0$。故

原大圆弧达到下界。当 $L<\pi$ 且能量也达到下界，等号先强制单位速率，极小性再由一阶变分强制测地线方程。球面单位速测地线为 $\cos tp+\sin tv$，终点条件唯一确定 $v=(c(L)-\cos Lp)/\sin L$，所以这条弧唯一。当 $L=\pi$，终点不再确定初方向，旋转经线族给出多个极小点。

以上证明完成球面的正／零／负阈值及相应曲线行为。一般流形上，Jacobi 核描述单条测地线的无穷小退化；前面的平坦圆柱说明，全局路径竞争仍可能在没有共轭点时使曲线失去最短性。