Hopf–Rinow完备性定理

度量完备为什么能防止测地线提前终止 ​

设测地线 $\gamma$定义到某个有限右端点 $b$之前，常速为 $c$。对 $s,t<b$，

所以当 $t\uparrow b$时，$\gamma (t)$是Cauchy族。度量完备给出极限点 $q\in M$。

仅有位置收敛还不够：测地方程的状态包含位置和速度。取 $q$附近一个坐标邻域，再取其中包含 $q$的紧小邻域 $K$。由于距离拓扑与流形拓扑相同，$\gamma$的末段留在 $K$内。设坐标为 $x(t)$；在 $K$上存在 $m>0$使

常速性于是给出 $|x^{\prime }(t)|\le c/\sqrt{m}$。Christoffel系数在 $K$上有界，而测地方程为

故 $|x^{″}(t)|$也有统一上界。于是 $x^{\prime }(t)$在 $t\uparrow b$时有极限 $v$。

现在位置—速度状态收敛到坐标域内部的 $(x(q),v)$。光滑方程满足Picard–Lindelöf存在唯一性定理理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。的局部条件，从时间 $b$以该状态继续求解即可。原末段的积分方程在极限处仍成立，唯一性使新旧解拼成同一条光滑测地线。左端点同理，因此条件1推出条件2；条件2显然推出条件3。

一小段正确方向从哪里来 ​

下面从条件3出发，固定它提供的点 $p$，为任意 $q\ne p$构造极小连接。记 $D=d_g(p,q)>0$。

由Gauss径向正交引理理路Gauss径向正交引理Riemannian Gauss lemma · Gauss radial lemma · 黎曼几何Gauss引理 · 径向正交引理证明指数映射保留径向内积，由此分解曲线的径向与角向速度，认证正常球中心到球内点的最短连接及其唯一性，并处理离开球的竞争曲线与球面边界。，可选 $0<\epsilon <D$，使 $p$周围半径 $\epsilon$的距离球是正常球，其边界紧。取从 $p$到 $q$的曲线 $c_j$，满足

让 $x_j$为 $c_j$第一次碰到这个小球面的点。取子列使 $x_j\to x$。第一次出球之前至少走了 $\epsilon$，因此

取极限，并结合三角不等式 $D\le \epsilon +d_g(x,q)$，得到

于是从 $p$径向走到 $x$，恰好用掉总距离中的 $\epsilon$，没有浪费。令 $v$为该径向的单位初速度，由条件3可将 $\gamma (t)={\exp }_p(tv)$定义到所有需要的时间。

最短曲线不能带一个真正的折角 ​

后面要把两段短测地线拼起来。先证明：若一条分段测地线已经最短，那么拼接处的入射与出射单位速度必须相同。

设拼接点为 $z$，入射速度为 $u$，出射速度为 $w$。在以 $z$为原点的正常坐标中，拼接点前后各距离 $h$的点，其坐标分别为 $-hu$和 $hw$。原折线长 $2h$。

若 $u\ne w$，则 $|u+w|<2$。用坐标中的直线段连接这两个点，由 $g(0)$为欧氏内积且 $g(x)=g(0)+O(|x|)$，新路线长度为

当 $h$足够小时，这严格小于原折线的长度 $2h$，与最短性矛盾。因此两段速度相同，再由测地初值唯一性，它们其实是同一条测地线的连续部分。

正确方向可以一直走到目标 ​

同时记录已走弧长与剩余距离，定义

式(2)说明 $\epsilon \in S$；距离连续说明 $S$闭，因此存在最大元 $\tau$。

若 $\tau <D$，在 $y=\gamma (\tau )$处重复小球论证，取正常半径 $0<\delta <D-\tau$，得到球面点 $z$，满足

三角不等式的两端夹住同一个数：

所以从 $p$沿 $\gamma$走到 $y$，再沿短径向测地线走到 $z$，恰为一条最短路线。刚才的折角论证迫使后一段继续沿 $\gamma$前进，因而 $z=\gamma (\tau +\delta )$。式(4)及剩余距离等式说明 $\tau +\delta \in S$，与 $\tau$最大矛盾。

因此 $\tau =D$，式(3)给出 $d_g(\gamma (D),q)=0$，即 $\gamma (D)=q$。我们已经构造出从 $p$到任意 $q$的极小测地线。

从极小连接得到紧球，再回到度量完备 ​

条件3提供的 ${\exp }_p$在整个有限维向量空间上光滑。刚证出的极小连接给出

右侧包含于左侧，因为每条径向曲线的长度至多 $R$；左侧包含于右侧，因为每个球内点都有长度不超过 $R$的极小连接。

切空间闭球紧，连续像也紧。任意闭有界集都包含于某个以 $p$为中心的闭球中，且为其闭子集，因此也紧。这证明条件3推出条件4。

最后，任意Cauchy列有界。条件4给它一个收敛子列；再用Cauchy条件，整列收敛到同一极限，故条件4推出条件1。四个条件形成完整闭环。它们成立后，条件2对每个出发点都成立，前面的构造遂适用于任意一对端点。

任意两点都有最短路线，空间仍可能不完备 ​

欧氏平面的开单位圆盘中，两点之间的直线段完全留在圆盘内，因而是唯一最短路线。但点列 $(1-1/j,0)$是Cauchy列，其极限 $(1,0)$不在圆盘内。

因此“任意两点存在极小连接”只是定理的推论，不能加入四个等价条件。圆盘中的径向测地线在有限时间触及缺失的边界，正好暴露其不完备。

缺一个点，长度下确界可以取不到 ​

在 $M={\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$上取欧氏度量，令 $p=(-1,0)$、$q=(1,0)$。任何连接的长度至少为2。经过 $(0,\eta )$的两段折线避开原点，长度为

所以 $d_g(p,q)=2$。然而欧氏长度达到端点距离的曲线只能沿直线段单调前进；该线段经过删去的原点，故下确界没有被任何允许曲线达到。

这里点列 $(1/j,0)$再次显示度量不完备。数值上找到越来越短的候选曲线，并不足以认证存在一条真正最短曲线。

完备不等于紧，也不等于唯一最短 ​

平坦圆柱 ${\mathbb{R}}^2/(\ell \mathbb{Z}\times \{0\})$的测地线来自全部实数时间上的直线，故测地完备，但沿轴向无界，所以不紧。相差半周、且有任意固定高度差的两个点，有左右绕行的两条等长极小连接。

圆球则紧且完备。非对跖点的短大圆弧唯一，对跖点之间有无穷多条半大圆极小连接。紧性仍不会补上唯一性。

图中周长为6，端点高度差为4。两个最近提升的横向差分别为−3与3，给出两条长度为5的最短连接；所有其他整数提升都更远。

无边界与有限维条件确实有作用 ​

带通常距离的闭区间 $[0,1]$完备，但从内部向右走的单位速度直线在到达1后不能在区间内继续保持原速度。它是带边界对象，不满足本定理的无边界条件。

无限维Hilbert空间 ${\ell }^2$完备，直线测地线也能无限延拓，但标准正交向量 $e_j$之间距离为 $\sqrt{2}$，所以闭单位球不紧。证明中的有限维紧球不能照搬到无限维。

紧流形自动测地完备 ​

紧度量空间中的Cauchy列必收敛，故紧且无边界的Riemann流形满足条件1，继而测地完备。若已知一个Riemann流形完备，再证明其直径有限，则整个空间是一个闭有界集，由条件4得到紧性。

Bonnet–Myers定理理路Bonnet–Myers直径定理Bonnet-Myers theorem · Myers theorem · Bonnet–Myers theorem · 正Ricci直径定理从Ricci取迹和一组正弦试验场推出统一正Ricci曲率下的精确直径界，再证明紧性与有限基本群，核对球面取等、射影空间和非一致正曲率边界。正使用后面这条路线：先用曲率限制最短测地线的长度，再由Hopf–Rinow把直径上界转成紧性。仅有有限直径而没有完备性，开圆盘已说明不够。

给最短路计算划清可认证的结论 ​

局部测地方程产生候选曲线；完备性保证远端目标至少有一个极小候选；具体距离比较才判断候选是否最短，以及是否还有别的同长路线。这三项需要分别核验。

全局测地线证书终点以圆柱的整数提升、缺点平面的趋近折线及开圆盘的逃逸序列执行这三步。每个结论都有长度公式或序列证书，而不是只依据示意图判断。