微分指标与隐藏约束

约束里没有写出的导数，未必可以自由选择。对“位置必须在圆上”求一次导数得到切向速度，再求一次才看见维持圆周的反作用力。微分指标记录需要沿这条链走几步，才能解出所有状态分量的导数。

形式陈述

本页采用哪一种指标

对光滑DAE

F(t,u,u')=0, \tag{1}

依次作关于时间的全导数，形成导数阵列

F=0,\quad D_tF=0,\quad\ldots,\quad D_t^\nu F=0. \tag{2}

这里 $D_t$ 会同时微分显式时间、状态以及状态的高阶导数；计算时将 $u',u'',\ldots$ 暂时作为独立的导数未知量。例如

D_tF=F_t+F_uu'+F_{u'}u''.

在相容解附近，若相关消元秩保持不变，式(2)能通过局部光滑代数消元提取唯一的

u'=a(t,u), \tag{3}

则使这一点成立的最小非负整数 $\nu$ 称为本表示的微分指标。式(3)称为底层ODE。消元仍保留约束；并不是说其任意初值都对应原DAE解。

以下所有指标计算采用这个“解出全部状态导数”的约定，并假定所写函数足够光滑、所列可逆块在一个邻域内保持可逆。显式ODE的指标为0；非退化纯代数方程需要微分一次，指标为1。求出某个代数变量本身，和求出它的导数，相差的一次不能漏掉。

秩变化点和退化方程表示可能没有这样一个统一指标。另有扰动指标、tractability index等概念；本页不把这些不同定义自动视为相同。

直觉

指数1：一次微分补上代数导数

对

x'=f(t,x,z),\qquad g(t,x,z)=0, \quad g_z\text{可逆}, \tag{4}

原方程不含 $z'$ ，所以尚不能确定完整状态 $(x,z)$ 的导数。一次微分给

g_t+g_xf+g_zz'=0,

唯一解出 $z'$ 。故指标恰为1，而不是因为约束能直接解出 $z$ 就记成0。

指数2：先找出隐藏的代数条件

现在代数约束不含 $z$ ：

x'=f(t,x,z),\qquad g(t,x)=0. \tag{5}

第一次微分产生

H(t,x,z):=g_t(t,x)+g_x(t,x)f(t,x,z)=0. \tag{6}

这是隐藏约束。如果方阵

H_z=g_xf_z \tag{7}

可逆，隐函数定理使式(6)局部决定 $z=\zeta(t,x)$ 。但它仍没有决定 $z'$ ；还须再微分一次：

z'=-H_z^{-1}(H_t+H_xf). \tag{8}

两次足够。一次不够，是因为式(6)不含 $z'$ ；微分第一条运动方程产生的 $x''$ 可以随任意 $z'$ 调整，不能反过来多提供一个独立限制。因此在这些非退化条件下，指标恰为2。

一致初值必须同时满足 $g(t_0,x_0)=0$ 与 $H(t_0,x_0,z_0)=0$ 。沿约化ODE有 $d\,g/dt=H=0$ ，所以第一项约束由正确初值传给整个局部轨道。只求出 $H=0$ 而忘记初始 $g=0$ ，会保留一个任意常数偏差。

指标计算应保存每层约束

实际推导可列三栏：本层新增方程、该层解出的未知量、使用的可逆块。下一层只在这些块仍可逆的区域内有效。某一时刻块失秩，应停止沿用当前约化，而不是继续把一个越来越大的逆矩阵当成正常系数。

指标衡量方程的微分结构，不直接给积分器的误差阶，也不是判断某个具体步长是否稳定的数字。

例子与边界

一个一眼能核验的指数2系统

给定光滑函数 $r$ ，考虑

x'=z,\qquad x=r(t). \tag{9}

所有解都被强制为 $x=r,z=r'$ 。再微分一次，才得到完整底层ODE $x'=z,\ z'=r''$ 。一致初值是 $(r(t_0),r'(t_0))$ ，而非只要 $x_0=r(t_0)$ 就可以。

若数值上只推进 $z'=r''$ ，则 $z-r'$ 保持初值误差；继续积分 $x'=z$ ，得到

x(t)-r(t)=a+b(t-t_0), \quad a=x_0-r(t_0),\quad b=z_0-r'(t_0). \tag{10}

求导消掉的常数没有消失，它们变成了位置与速度漂移。

机械系统为什么是指数3

取常对称正定质量矩阵 $M$ ，位置 $q\in\mathbb R^d$ 、速度 $v\in\mathbb R^d$ 、乘子 $\lambda\in\mathbb R^m$ ，其中 $1\le m\le d$ 。令 $g:\mathbb R^d\supset U\to\mathbb R^m$ 光滑， $G=Dg$ 满行秩。考虑

q'=v,\qquad Mv'=F(t,q,v)-G(q)^T\lambda, \qquad g(q)=0. \tag{11}

把乘子也计入状态 $u=(q,v,\lambda)$ 。第一次微分位置约束得到 $Gv=0$ ；第二次得到

GM^{-1}F-GM^{-1}G^T\lambda+D^2g(q)[v,v]=0.

记 $W=GM^{-1}G^T$ 。任意非零 $a\in\mathbb R^m$ 满足

a^TWa=(G^Ta)^TM^{-1}(G^Ta)>0,

因为满行秩使 $G^Ta\ne0$ 。所以第二次微分唯一确定

\lambda=\Lambda(t,q,v) :=W^{-1}\bigl(GM^{-1}F+D^2g(q)[v,v]\bigr). \tag{12}

第三次微分才确定

\lambda'=\Lambda_t+\Lambda_qv +\Lambda_vM^{-1}(F-G^T\Lambda). \tag{13}

前两层不限制 $\lambda'$ ，第三层的系数 $W$ 可逆，故原位置约束形式的微分指标为3。一致初值要同时满足 $g(q_0)=0$ 、 $G(q_0)v_0=0$ 和 $\lambda_0=\Lambda(t_0,q_0,v_0)$ 。

若把原位置约束替换成速度约束，得到指数2表示；替换成式(12)，得到指数1表示。它们只有在保留正确位置、速度初值时才给出原轨道。仅有加速度层约束时， $g(q(t))$ 可以像式(10)一样线性漂移。

小幅数据不保证小幅解

三条方程

x_1'=x_2,\qquad x_2'=x_3,\qquad x_1=r(t) \tag{14}

强制 $x=(r,r',r'')$ 。取 $r_\omega(t)=\omega^{-1}\sin(\omega t)$ ，有

|r_\omega|\le\omega^{-1},\qquad x_3=-\omega\sin(\omega t).

在任意固定正长度时间窗内，充分大的 $\omega$ 使 $x_3$ 的最大幅度达到 $\omega$ 。只用外力的上确界范数度量输入，会漏掉被系统实际调用的导数。更高指标一般需要更强的数据正则性和扰动范数；它并不等同于普通ODE中的快速衰减刚性。

推论与应用

与常系数幂零指数的对应

对正则常系数系统 $Eu'=Au+f(t)$ ，可作常可逆左右变换，分出

y'=Jy+a(t),\qquad Nz'=z+b(t), \quad N^\nu=0,\quad N^{\nu-1}\ne0. \tag{15}

若存在代数块，外力足够光滑且保留全部 $z$ 分量，则微分指标恰为 $N$ 的幂零指数 $\nu$ ；没有代数块时记为0，非空零矩阵块的指数为1。正则常系数DAE会证明分解，并沿最长链说明为何少一次微分仍不能解出全部导数。

这里对应的是常系数、正则束和本页的微分指标。不能把同一数值无条件套到变系数、奇异束或任意重写后的方程上。

降阶后如何验收

对于式(11)，计算报告应保留位置残差 $g(q)$ 、速度残差 $Gv$ 和动力残差 $Mv'-F+G^T\lambda$ 。把最后一项算得很小，并不能替代前两项。

Baumgarte稳定化让被求导消掉的约束残差满足一个衰减方程；RATTLE则在离散步内分别求位置和切向动量约束。前者是连续反馈方程的修改，后者是特定结构积分器；它们都需要各自的可解性与误差检查，不能仅凭“降低了指标”宣布计算可靠。

参考资料

Ernst Hairer，Solving Differential Equations on Manifolds，June2011，IV.2，Definition2.1及指数1–3讨论，印刷pp.30–32；IV.4，pp.34–36：机械系统的三种约束层及一致初值。本文将显式时间和乘子导数写出，固定指标计数的对象。
Steffen Schulz，Four Lectures on Differential-Algebraic Equations，2003，§2.1–2.2，Definitions2.3–2.4，pp.10–12：常系数幂零块与微分指标。后续tractability index采用不同定义，不在本页混用。

形式陈述 ​

本页采用哪一种指标 ​

指数1：一次微分补上代数导数 ​

指数2：先找出隐藏的代数条件 ​

指标计算应保存每层约束 ​

一个一眼能核验的指数2系统 ​

机械系统为什么是指数3 ​

小幅数据不保证小幅解 ​

与常系数幂零指数的对应 ​

降阶后如何验收 ​

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