Haar小波与多分辨率重构

形式陈述

给一串等距数据，怎样同时知道整体水平、左右差异和局部变化，而且不丢信息？Haar变换用一组按位置与尺度组织的正交规范基回答。先在有限维中把运算定义清楚，再解释它与函数的关系。

输入为实向量 $x=(x_0,\ldots,x_{n-1})$ ，其中 $n=2^J$ 、 $J\ge0$ 。令最细层 $a_{J,k}=x_k$ 。对 $j=J-1,\ldots,0$ 及 $0\le k<2^j$ ，计算

a_{j,k}=\frac{a_{j+1,2k}+a_{j+1,2k+1}}{\sqrt2},\qquad d_{j,k}=\frac{a_{j+1,2k}-a_{j+1,2k+1}}{\sqrt2}.\tag{1}

输出按粗到细排序为 $Wx=(a_{0,0},d_{0,0},d_{1,0},d_{1,1},\ldots,d_{J-1,2^{J-1}-1})$ 。差异统一采用左减右；改变符号约定可以，但逆变换必须同步改变。 $a$ 是能量归一化后的和，不是普通算术平均。

给定全部系数，从 $j=0$ 起逐层恢复：

a_{j+1,2k}=\frac{a_{j,k}+d_{j,k}}{\sqrt2},\qquad a_{j+1,2k+1}=\frac{a_{j,k}-d_{j,k}}{\sqrt2}.\tag{2}

每个二元步骤的矩阵是 $2^{-1/2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ，其转置乘自身为单位矩阵。分层组合和重新排列仍是正交矩阵，故 $W^{-1}=W^{\mathsf T}$ ，且

\sum_{k=0}^{n-1}x_k^2=a_{0,0}^2+\sum_{j=0}^{J-1}\sum_{k=0}^{2^j-1}d_{j,k}^2.\tag{3}

这同时证明精确重构与能量守恒。每层处理长度依次为 $n,n/2,\ldots,2$ ，总算术工作为 $O(n)$ ；全部输出占 $n$ 个数。 $J=0$ 时只有尺度系数，没有差异步骤。

直觉

平均分量回答这一块整体有多高，差异分量回答左右两半差多少。知道两者就能恢复两半，所以变换本身没有压缩。只对平均分量继续分解，会把比较范围从两点扩大到四点、八点，把同一信号的变化放在不同层中。

细层的大系数通常表示局部变化，粗层的大系数表示较大范围的差异。但噪声也能制造差异，真实变化也可能很小；哪些系数值得留下，仍需要一条单独的逼近或统计规则。

例子与边界

四个数完整算一遍

取 $x=(3,1,0,0)$ 。第一层给 $a_1=(2\sqrt2,0)$ 、 $d_1=(\sqrt2,0)$ ，第二层给 $a_0=2$ 、 $d_0=2$ 。所以

Wx=(2,2,\sqrt2,0),\qquad W=\begin{pmatrix} 1/2&1/2&1/2&1/2\\ 1/2&1/2&-1/2&-1/2\\ 1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0&0\\ 0&0&1/\sqrt2&-1/\sqrt2 \end{pmatrix}.

按式(2)，先从 $(2,2)$ 恢复 $(2\sqrt2,0)$ ，再与 $d_1$ 合并，恢复 $(3,1,0,0)$ 。原能量为10，变换后为 $4+4+2=10$ 。这些值也固定了后续去噪例子的系数顺序。

若仅将两个最细差异设为零，逆变换得到 $(2,2,0,0)$ 。平方误差为2，正好是删去的系数平方和。若再删掉粗差异，输出全局平均 $(1,1,1,1)$ ，新增平方误差为4。误差由删去的坐标决定，并非逆变换额外放大。

函数版本中的区间分辨率

在 $[0,1)$ 上定义 $I_{j,k}=[k2^{-j},(k+1)2^{-j})$ 、 $\phi_{j,k}=2^{j/2}\mathbf1_{I_{j,k}}$ ，以及

\psi_{j,k}=2^{j/2}\bigl(\mathbf1_{I_{j+1,2k}}-\mathbf1_{I_{j+1,2k+1}}\bigr).

在$L^2[0,1]$的实内积 $\int fg$ 下， $\phi_{0,0}$ 和各层 $\psi_{j,k}$ 正交规范。支撑不交时内积为零；支撑嵌套时，粗函数在细支撑上恒定，而细小波积分为零。每个函数的平方积分为一。

令 $V_j$ 是在每个 $I_{j,k}$ 上常值的空间， $D_j$ 是第 $j$ 层小波张成的空间。左右常数可以唯一拆成平均与差异，所以

V_{j+1}=V_j\mathbin{\oplus^{\perp}}D_j,\qquad V_J=V_0\mathbin{\oplus^{\perp}}D_0\mathbin{\oplus^{\perp}}\cdots\mathbin{\oplus^{\perp}}D_{J-1}.

这就是本页的区间Haar多分辨率结构。正交投影 $P_Jf$ 在每个小区间等于区间平均。连续函数在足够细的区间上变化一致很小，故 $P_Jf\to f$ 于 $L^2$ ；再用连续函数在 $L^2$ 中的稠密性与 $\|P_J\|\le1$ ，便推广到全部 $L^2$ 函数。这里得到范数收敛，不是所有点的逐点收敛。

把数据看成分段常值函数 $f_x(t)=x_k$ （ $t\in I_{J,k}$ ），最细函数坐标为 $x_k/\sqrt n$ ，因此其Haar函数系数为 $Wx/\sqrt n$ ，并有 $\|f_x\|_2^2=\|x\|_2^2/n$ 。遗漏这项 $\sqrt n$ 会同时错置函数风险和系数噪声的尺度。

采样不等于知道整条函数

一般连续函数的点值 $f(k/n)$ 不是区间平均。只由采样值做离散变换，并不自动得到连续小波积分。例如 $f(t)=\sin^2(\pi nt)$ 在全部 $k/n$ 处为零，各段中点却等于一。离散零向量无法识别这些峰；连续误差还需要采样近似与光滑性条件。

当前算法要求长度为二的幂。补零、镜像、周期延拓或不等长分组都可能有用，但它们改变了边界坐标或观测空间，不能直接声称原来 $n$ 维的全部结论不变。等距索引也不能把不等距输入之间的物理距离变成相同。

推论与应用

保留完整粗层是预定子空间中的线性投影；保留绝对值最大的若干系数，则让保留位置依赖信号，得到非线性稀疏逼近。同一正交能量公式可精确计算两者误差。

独立同方差正态噪声在正交换基后仍独立同分布，故小波阈值去噪可以逐坐标分析。正交性单独只保留协方差；非正态情形中，不相关不保证独立。

Fourier基按全局频率组织，Haar基按位置和尺度组织。局部跳跃在两种坐标中的分布不同，并不表示其中一种对每类函数都更稀疏。本页的Haar变换、群上的Haar测度、字符串索引中的wavelet tree分别属于不同接口。

自测。 $x=(1,1,1,1)$ 的输出为 $(2,0,0,0)$ ，而非 $(1,0,0,0)$ 。仅保留 $a_{0,0}$ 时，每个恢复坐标为 $a_{0,0}/\sqrt n$ ，正好是样本平均。

自测二。 两个独立、等概率取 $-1$ 与1的噪声，经二点Haar变换后还独立吗？不独立。输出分别为和与差除以 $\sqrt2$ ，其中恰有一个坐标为零、另一个绝对值为 $\sqrt2$ 。协方差仍为单位矩阵，但知道一个坐标非零就知道另一个为零。

参考资料

Iain M. Johnstone，Gaussian Estimation: Sequence and Wavelet Models，2019年9月16日稿，§§7.1–7.2，pp.187–196：多分辨率子空间、两尺度滤波与离散变换。本文将构造限制在区间Haar基，并直接证明有限维归一化。

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