区间Newton法

普通Newton在一个点画一条切线。区间Newton同时允许盒内出现的全部斜率或线性化矩阵，再把这些可能线性方程的零点包起来。只要真根位于原盒，它对应的某个平均线性化也在允许范围内，所以真根不能被修正集合丢掉。

这解释了“保留”与“存在”的区别。把一个空候选区域收缩得很小仍可能没有根；只有修正集合整个留在原盒中，配合可逆性，才得到连续自映射，进而获得存在性。

证明：平均矩阵不是同一点的Jacobian ​

对 $x\in X$，沿线段积分得到

逐项区间是凸的，故平均矩阵仍在其中。多维时一般不存在一个共同的 $\xi$ 使 $A_c(x)=DF(\xi )$；证明只需要式(3)的包含关系。

若 $F(x)=0$，由正则性得 $x=c-A_c(x{)}^{-1}F(c)\in N(c,X)$，立即得到保留与排除。若有两个根 $x,y\in X$，对它们之间的线段同样积分，有 $0=A(x-y)$，其中 $A\in \mathit{J}(X)$；可逆性迫使 $x=y$。

剩下的是存在性。平均矩阵随 $x$ 连续，矩阵求逆在可逆矩阵上连续，因此

是连续映射。当 $\hat{N}\subseteq X$ 时，$T(X)\subseteq X$。由Brouwer不动点定理理路Brouwer 不动点定理Brouwer fixed-point theorem闭球到自身的任意连续映射都有不动点。，紧凸盒上存在 $x_{\ast }=T(x_{\ast })$。把这一等式代回式(3)，即得 $F(x_{\ast })=0$。我们没有假定直接迭代 $T$ 一定收敛；Brouwer在这里只承担存在性。

平方根的第一张证书 ​

令 $f(x)=x^2-2$，$X=[1,2]$，$c=3/2$。导数区间 $D=[2,4]$ 不含零，而 $f(c)=1/4$，所以

这一步既证明原区间恰一根，也把它包进宽度 $1/16$ 的新区间。再取新区间中点，第二步得到

读者可分别平方两端，核对它们仍严格夹住 $2$。判断来自有理不等式，不依赖先知道 $\sqrt{2}$ 的小数。

如果将普通Newton的表达式直接按区间代入，算成 $X-(X^2-2)/(2X)$，对同一个 $[1,2]$ 反而得到 $[0,5/2]$。同一变量被多次独立选取产生过宽结果；这不是式(2)中的中心修正。

没有通过时能说什么 ​

取 $f(x)=x^2+1$，$X=[1,2]$，仍有 $D=[2,4]$，但

它与 $X$ 不交，直接排除。相比之下，$f(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 有唯一根，却因导数区间含零而不能使用本页的正则判据；失败没有证明无根，也没有证明多根。

盒中每个实际Jacobian都可逆，比整个区间矩阵正则弱。区间会允许从不同点独立拼接各个元素，可能包含实际从未出现的奇异矩阵。此时应缩盒、保留相关性或改用别的证明，不能只抽样几个Jacobian就宣称前提已满足。

二次收缩需要哪些额外控制 ​

在一维简单根 $\alpha \in X$ 附近，假设 $|f^{\prime }|\le M$，导数区间远离零达到 $\underset{d\in D}{inf}|d|\ge m>0$，并且其宽度满足 $\mathrm{wid}(D)\le L\mathrm{wid}(X)$。若 $c$ 为中点，则 $|f(c)|\le M\mathrm{wid}(X)/2$。倒数区间宽度至多 $\mathrm{wid}(D)/m^2$，故

这个估计假定中心值和区间端点按精确实数计算。实际可靠外包围还会有舍入或函数求值尾界的宽度，固定精度下可能到达平台，不能无限宣称宽度继续平方。若只知道 $f^{\prime }$ 连续，也没有凭空得到式(4)里的线性宽度常数 $L$。

标量一步只需中心函数值、导数区间和常数次区间操作。多维的主要成本是线性解集的可靠包围，取决于所用子算法；不能把集合值 $A^{-1}$ 当作一次普通 $O(n^3)$ 点矩阵求逆。Krawczyk算子理路Krawczyk算子Krawczyk operator · Krawczyk root certificate把近似逆、中心残差和区间Jacobian组合成根包围，由严格内包含推出加权压缩、存在唯一性，并区分弱包含与未决结果。采用固定预条件矩阵避免这一步集合值求逆，以另一张可计算内包含证书完成根认证。