预条件

形式陈述 ​

预条件的基本对象是线性系统理路线性方程组System of linear equations可写为矩阵方程 Ax=b 的有限个一次方程系统。 $Ax=b$ 的等价变换，并不要求原矩阵稀疏，也不限定必须使用 Krylov 求解器。选取非奇异算子 $M$，使线性方程 $Mz=v$ 比原系统容易求解，并使 $M$ 在相关方向上近似 $A$。预条件算法不显式形成 $M^{-1}$；每次出现 $M^{-1}v$ 都表示调用一次求解或近似求解过程。

左预条件把系统改写为

解变量仍是 $x$，但 Krylov 方法直接看到的残差是

例如左预条件 GMRES 最小化 $\Vert \tilde{r}{\Vert }_2$，它未必与原残差 $\Vert b-Ax{\Vert }_2$ 同步。停止时应显式重算并检查用户真正关心的原残差或后向误差，不能把预条件残差的阈值直接改名为原系统精度。

右预条件先解

此时迭代变量是 $y$，而 Krylov 残差

恰是原系统在映回 $x$ 后的残差。实现必须保存变量映射，并在输出、更新量和停止准则中使用一致的 $x$；忘记最后一次 $M_R^{-1}$ 应用会返回错误变量，而不只是少一次优化。

更一般的分裂预条件为

对 Hermitian 正定系统，若 $M=C{C}^{\ast }$ 也正定，可用对称变换

保留 Hermitian 正定结构。任意左乘 $M^{-1}A$ 一般不会在 Euclidean 内积下保持对称，不能直接套用共轭梯度的标准推导。

预条件共轭梯度法理路预条件共轭梯度法Preconditioned conjugate gradient method · PCG · 预条件共轭梯度从固定正定预条件器的对称坐标变换推导 PCG，以加权残差生成共轭方向，并用三步算例区分能量收敛、原残差与总成本。从这个对称系统出发，把递推映回原变量，只保留 $z=M^{-1}r$ 的应用接口，无须实际构造 $C$。标准 PCG 要求该接口在迭代中保持固定、线性、自伴且正定；一般的可变或非线性近似求解不能直接沿用同一递推。其能量收敛界使用 $C^{-1}A{C}^{-\ast }$ 的特征值比，而不是通常非对称的 $M^{-1}A$ 的 Euclidean 奇异值条件数。

预条件的目标不是只让一个裸条件数变小。线性系统条件数理路线性方程组的条件数与扰动Conditioning of linear systems · Matrix condition number把一般问题条件性具体化为可逆线性系统的右端、系数矩阵与联合扰动界。描述解对输入扰动的最坏敏感性，却不能独自预测每个迭代法的轨迹。对正定系统，共轭梯度法理路共轭梯度法Conjugate gradient method · CG method在 Hermitian 正定系统的 Krylov 子空间中最小化能量误差，以三项递推获得共轭方向和短存储迭代。的能量误差界直接受预条件算子的谱区间和聚集影响；对非正规系统，特征值聚集或较小 $\kappa$ 仍可能遗漏场值、伪谱和瞬时放大，GMRES 收敛不能由特征值图单独预测。

工程成本应写成

其中 $C_{\mathrm{setup}}$ 是构造成本，$C_M$ 是每次应用预条件器的求解成本，$k$ 是迭代步数。还要计入因子填充、层级结构或辅助向量的存储。昂贵设置若能在多个右端或相邻时间步复用，可能值得；只解一次且迭代数下降很少时，设置成本可能超过节省。

输入接口至少应给出 $A$ 的矩阵—向量乘、$M$ 的应用、左右位置、容差和预算；输出应记录设置时间、每步应用次数、原残差、预条件残差与失败状态。若 $M$ 奇异、应用产生非有限值或内层求解未达到约定精度，外层算法必须报告预条件失败。