无界区域的有理 Chebyshev 方法

映射把靠近原点的区域展开，把远处越来越长的区间压向 $y=1$。尺度 $L$ 决定节点主要照顾多大长度范围。选得太小，远场细节会挤在极窄端点附近；选得太大，原点附近的快速变化又缺少分辨率。

“无穷区间变成有限区间”解决了几何表示，收敛速度仍由映射后函数的光滑与解析性质决定。

取 $u(x)=1/(1+x)$。若 $L=1$，则映射后 $u=(1-y)/2$，只需 $R_0,R_1$ 两个基函数便精确表示整个半轴。原点值为一，无穷远极限为零，二者在有限区间端点上都有明确含义。

若改取 $L=2$，同一函数变成 $(1-y)/(3+y)$，在复 $y$ 平面的极点为 $-3$。它仍很适合几何收敛的多项式逼近，但已不再是一次多项式。尺度选择实际改变了最近奇点的映射位置，因此也改变系数衰减。

对 $u(x)=e^{-x}$，映射后为 $\exp [-L(1+y)/(1-y)]$。在实端点 $y=1$ 可平滑延拓为零，却在复平面该点有本性奇点。不能直接套用“某个 Bernstein 椭圆内解析”的几何收敛定理；需要对应的端点正则性或更细的渐近分析。

求解时先选映射和尺度，变换微分算子与边界条件，再用有限区间谱离散。若使用积分，也要带上 Jacobian $dx/dy=2L/(1-y{)}^2$。映射后的端点放大可能改变可积性或数值条件，原函数衰减率必须一并检查。

单元练习：验证谱精度与它的边界 ​

对周期函数 $u(x)=e^{\sin x}$，在奇数等距网格上用 Fourier 乘子计算 $u^{\prime }=e^{\sin x}\cos x$。对边值问题 $-v^{″}=-e^x$、$v(\pm 1)=0$，用 Chebyshev 配点求解；其精确解是 $v=e^x-\cosh 1-x\sinh 1$。再计算七点网格上 ${\cos }^2(3x)$ 的混叠，说明如何去除。

可下载本单元的 Python/NumPy 复算脚本和本次实际运行结果。保存脚本后运行 python foundation-spectral-capstone.py，会重新计算两组误差、七点混叠及十点去混叠，并执行相应数值断言；脚本仅依赖 NumPy，不需要联网。

以 binary64 节点最大绝对误差核验：周期网格点数 $9,17,33$ 时，导数误差约为 $4.95\times {10}^{-3},1.89\times {10}^{-7},4.66\times {10}^{-15}$。非周期问题使用次数 $8,12,16$ 时，节点解误差约为 $6.55\times {10}^{-9},1.52\times {10}^{-14},2.33\times {10}^{-15}$；不同计算库最后几位可以变化。结果先迅速下降，随后到达舍入平台。

混叠部分应得到错误低频 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x$；补到至少十点并截取 $|k|\le 3$ 后得到正确投影 $1/2$。验收还须说明：端点不匹配的周期延拓会引入跳跃；不光滑数据只支持较慢收敛；时间推进误差、线性求解误差与混叠都应和空间逼近误差分开检查。