包裹效应与坐标流集合传播

一个旋转后的正方形仍是同样大的正方形，但它的最小轴平行外包盒通常更大。保留矩阵 $C$，相当于同时保存方块的两根边向量；只保存每个坐标的最小最大值，就忘记了一个分量增大时另一个分量怎样变化。

包裹效应可以发生在完全精确的有理运算中，因而不是多打印几位小数就能消除的舍入误差。反过来，保留坐标关系也不消除局部截断误差；这些新误差仍须进入 $D$。

怎么获得式(3)的误差盒 ​

假设已有可计算 $C^1$ 映射 $\psi$ 和统一余项盒 $E$，使

例如验证Taylor步理路验证 Taylor 步与全步包围Validated Taylor integration step · Interval Taylor method for ODE先用严格包含认证全步轨道盒，再计算有限Taylor端点包围，逐步维护全部初值解的包含不变量并显式报告拒绝或未决。给 $\psi (x)=\sum _{k=0}^p{h}^k{F}_k(t,x)$，而 $E=h^{p+1}[F_{p+1}](I,B)$。先前认证的全步盒 $B$ 负责保证式(6)确实针对真实流成立。

在包含 $X$ 的凸盒上取得 $D\psi$ 的区间矩阵 $[J]$。沿 $c$ 到 $x$ 的线段应用微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。，

平均Jacobian属于 $[J]$。选一个方便的点矩阵 $A$，于是式(3)可用以下盒认证：

这次区间乘法允许放弃余项中的相关性，但仍把主要的 $ACu$ 留在点矩阵中。$c_{+}$ 可以是近似的中心传播结果；它与 $\psi (c)$ 的差必须保留，不能默认为零。

式(7)是方便的充分构造，并非最紧选择。若能直接把非线性差 $\psi (c+Cu)-c_{+}-ACu$ 包得更窄，也可加上 $E$ 后用作 $D$。可靠性只要求式(3)成立。

有理旋转中的指数假扩张 ​

令

$R^{\mathsf{T}}R=I$、$\det R=1$，所以每一步只是旋转。若每步都保存轴平行盒，则两个坐标半径相同，递推为

这里所有数都可以精确用有理数计算，仍然出现指数扩张。

真实集合是 $R^n{X}_0$。由于二维旋转矩阵每行的绝对值和不超过 $\sqrt{2}$，它的轴平行半径始终不超过 $\sqrt{2}\epsilon$。取 $c_n=0$、$C_n=R^n$、$r_n=(\epsilon ,\epsilon )$，在式(3)中用 $A=R,D=0$，再取 $Q=R{C}_n$，式(4)直接给 $r_{n+1}=r_n$。这一次保留下来的正是被式(9)反复丢掉的相关性。

加入每步新误差后，半径不能一直不变 ​

现在考虑差分包含

它可以表示每个已认证传播步新引入的统一余项；不能只因主矩阵为旋转就删去这些扰动。仍取 $Q=R^{n+1}$，对称半径可按

更新。因此每个坐标不超过 $\epsilon +(n+1)\sqrt{2}\delta$。这给线性而非指数的额外增长，但不是宣称扰动影响为零。

若依旧每步轴平行盒化，半径则为

两种证书都可靠，差别在保留的信息。精确可达集合的支撑方向还可逐项累加 $R^n{X}_0$ 与各个旋转误差盒，从第三条路径核对包围。

左图取 $\epsilon =1,\delta =0$，蓝色是四步后的精确旋转正方形，红框是反复盒化所得范围。右图另取 $\epsilon =0.01,\delta =0.0001$，在对数纵轴上比较轴平行盒半径与坐标证书换回物理分量后的半径；两者都保留每步新误差。

非线性剩余项要真的算进去 ​

对一步映射

可把它看成系统 $x_1^{\prime }=x_2^2,x_2^{\prime }=0$ 长度一的精确流。取 $A=C=Q=I$、$c=c_{+}=0$，仅保留线性部分就会漏掉第一分量的正偏移。

由区间Jacobian，式(7)给 $D=[-2{\epsilon }^2,2{\epsilon }^2]\times \{0\}$，是可靠但偏宽的余项。直接利用 $x_2^2\in [0,{\epsilon }^2]$，改取

则式(4)给 $r_{+}=(\epsilon +{\epsilon }^2/2,\epsilon )$。对应盒的第一分量恰为 $[-\epsilon ,\epsilon +{\epsilon }^2]$，正好达到最小轴平行范围。它仍没有精确保存弯曲集合本身，但中心移动和非线性余项都得到了交代。

换坐标也可能放大余项 ​

$Q$ 若接近奇异，$Q^{-1}D$ 可能很宽。选择 $Q=AC$ 能完整保留线性主部，却未必最适合新误差；选择正交或较好条件的坐标可改善余项控制，但也可能扩大 $|Q^{-1}AC|r$。两项之间有实际权衡，没有“换坐标后永不包裹”的一般保证。

有限精度下，点矩阵也是证书数据 ​

存储的浮点矩阵可以按其精确二进有理值解释为点矩阵。计算 $AC$、$Q^{-1}AC$ 和中心差时，若没有精确运算，应采用包含外包络，并把乘法和求逆误差计入式(4)。不能把近似QR结果当作严格正交矩阵，再无证地用 $Q^{\mathsf{T}}$ 替代其逆。

一种简单的复核路线是提供有理矩阵 $Q,V$，精确验证 $VQ=QV=I$ 后令 $V=Q^{-1}$。另一条路线可调用验证线性系统理路区间线性系统的解集与包围Interval linear system · Oettli–Prager theorem · 区间矩阵正则性明确区间数据的存在量词，用逐行充要条件判断解集成员，再以预条件残差认证全部点系统的正则性和解包围。取得逆作用的可靠包围；这仍要检查对应方法的条件。求逆失败意味着当前坐标证书未通过，可选 $Q=I$ 继续，不能照用未认证的逆。

输入集合若先为轴平行盒，初始化可取其中心、$C=I$ 和逐分量半径。每一步维护式(1)的集合包含，只有在求值需要盒输入或最终报告各分量范围时才使用式(2)。用于求值的暂时外包盒不应取代下一步保存的坐标集合，否则主要收益会丢失。

计算量与输出边界 ​

给定 $D$ 的可靠构造后，稠密点矩阵乘法、换基及一般求逆按朴素实现需 $O(d^3)$ 算术工作，矩阵存储为 $O(d^2)$；矩阵乘半径向量需 $O(d^2)$。区间Jacobian、Taylor系数与整步存在认证的成本另外计算，有理位数和浮点精度也不包括在这个算术计数里。

若选择存储越来越多独立生成方向而不合并误差，可进一步保留相关性，但存储量会随步数增加。本页固定使用一组 $d$ 个坐标方向加盒余项，给出完整包含公式；它不是完整的Lohner实现，也没有定义高阶Taylor-model代数。

对数范数理路对数范数与瞬时增长界Logarithmic norm · Matrix measure从单位映射的单侧增率定义带符号的矩阵增长量，证明常用公式与最小指数传播界，并追踪换尺度的代价。描述真实动力学在所选范数下的最坏增长；包裹效应描述数值集合表示丢失关系后的额外增长。真实系统会扩张时，可靠证书也可能必须变宽。反之，本页旋转例说明真实流不扩张时，逐步轴平行盒化仍可能产生巨大但可靠的外包盒。