选择后推断与截断正态校准

在全部实验中罕见的数值，在已经限定为“大于门槛”的实验中未必同样罕见。例如，只留下正数以后，右尾区域的相对质量就翻倍了。选择校准既没有改动观测，也没有给未知参数添加先验；它改变的是比较观测时使用的参照分布。

选择事件必须对应实际使用的筛选规则。如果先看结果再决定门槛或方向，真实事件就不再只是一个预先固定的 $Z>c$，上面的分母也不再完整描述选择过程。

同一个 1.96，单侧证据怎样变化 ​

取 $c=0$、${\mu }_0=0$，观察到 $z=1.96$。未考虑选择的单侧 p 值是 $Q(1.96)\approx 0.024998$；条件于 $Z>0$ 后，

差异来自分母 $1/2$，并不是简单地因为“做了两个检验”。若只在正结果中使用原来的 $0.05$ 单侧阈值，条件第一类错误率为 $0.05/(1/2)=0.10$。改用选择 p 值则恢复 $0.05$ 的条件校准。

同一数据下，选择后的双侧等尾 p 值约为 $0.099992$；它不等于上述单侧值。用双侧检验反演得到的 $95\mathrm{\%}$ 区间约为

端点分别满足 $F_{-0.436154}^0(1.96)\approx 0.975$ 与 $F_{3.919224}^0(1.96)\approx 0.025$，因此零仍在区间内。知道数据已经为正以后，一个正观测对正均值的证据比未筛选时弱；区间不必以观测值对称。数字 $1.96$ 是分位数的近似，只有用 ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(0.975)$ 时上述单侧 p 值才恰为 $0.05$。

普通区间的条件覆盖要实际计算 ​

令 $a={\mathrm{\Phi }}^{-1}(0.975)$。普通区间 $[Z-a,Z+a]$ 在未筛选时对每个均值均有 $95\mathrm{\%}$ 覆盖。若 $\mu =0$ 且只在 $Z>1$ 时报告，它包含零恰好要求 $1<Z\le a$，所以条件覆盖为

这一筛选使普通区间的报告内覆盖降到约 $84.2\mathrm{\%}$。也并非每个选择事件在每个参数点都会使同一指标失效：当 $c=0,\mu =0$ 时，正负两侧对称，普通双侧区间的条件覆盖碰巧仍为 $95\mathrm{\%}$。这项单点相等不能代替对所有 $\mu$ 的条件保证。

条件校准为什么成立 ​

固定 ${\mu }_0$，$F_{{\mu }_0}^c$ 在 $(c,\mathrm{\infty })$ 上连续严格递增，值域为 $(0,1)$。对 $u\in (0,1)$，令 $z_u$ 是满足 $F_{{\mu }_0}^c(z_u)=u$ 的唯一数，则

因此该 CDF 值均匀，其一减也均匀，得到单侧 p 值结论。对真均值 $\mu$ 使用同样的结论，又有

正好就是反演区间的覆盖。证明只需要这个条件分布内的对称校准，不需要对所有候选均值的错误概率作并集。

相比之下，普通单侧值 $p_{\mathrm{naive}}=Q(Z-{\mu }_0)$ 在未选择时均匀，而事件 $S$ 等价于 $p_{\mathrm{naive}}<Q(c-{\mu }_0)$。所以

这条精确分布解释了失效的来源，也直接推导出需要除以哪一份选择概率。

反演为何给出一个区间，怎样算端点 ​

固定观测 $z>c$，需要理解 $F_{\mu }^c(z)$ 随候选均值怎样变化。取 ${\mu }_2>{\mu }_1$，两条条件密度的比为正常数乘 $\exp \{({\mu }_2-{\mu }_1)x\}$，严格随 $x$ 增加。因此对 $c<x<z<y$，

在 $x\in (c,z)$、$y\in (z,\mathrm{\infty })$ 上积分，得到

消去相同乘积后可知 $F_{{\mu }_1}^c(z)>F_{{\mu }_2}^c(z)$。所以 CDF 关于均值严格递减。

它还连续，且 $\mu \to +\mathrm{\infty }$ 时趋零。反方向令 $s=c-\mu$、$d=z-c>0$，由正态尾积分换元，

当 $\mu \to -\mathrm{\infty }$ 时 $s\to \mathrm{\infty }$，故 $Q(s+d)/Q(s)\to 0$，于是 $F_{\mu }^c(z)\to 1$。连续性、严格单调与两端极限保证唯一有限的 $L<U$ 满足

计算时可对每个方程先扩展左右搜索界，直到函数值夹住所需概率，再作二分。远尾区域应使用稳定的正态右尾或对数右尾计算，避免直接相减两个接近一的 CDF。求根算法的数值容差与统计上的精确覆盖属于不同层次。

独立拆分改变的是数据依赖 ​

若有独立的 $Z_1,Z_2\sim N(\mu ,1)$，只用 $Z_1>c$ 决定报告，再只用 $Z_2$ 推断，则 $Z_2\mid \{Z_1>c\}$ 仍服从 $N(\mu ,1)$。普通正态校准可以继续使用，因为选择没有改变推断数据的分布。

若把 $Z_1$ 再并入估计，独立拆分的这一步论证便不再适用，需要明确利用其选择条件。拆分方案用数据隔离换取简单校准，条件推断则直接分析被重用数据的选择分布；具体精度还要按所用程序比较。

与多重检验的接口 ​

选择条件错误率关注一个指定报告事件内的推断；族错误率公理库多重检验与族错误率Multiple testing · Familywise error rate · FWER同时检验多个假设时至少一次错误拒绝的概率及其 Bonferroni、Holm 控制。关注一组检验至少犯一次错误的概率。逐项选择校准并不自动控制整族错误，普通联合错误控制也不自动保证每个选择事件内的条件错误率。需要同时满足两种任务时，要说明各自控制的事件与概率。

在回归中，选择事件可能由多个变量共同决定，推断目标也可能随选中的模型改变。Lee 等论文将一类多面体选择事件转成截断正态枢轴；这需要推导实际选择约束，不能只把本页的 $c$ 换成某个经验门槛。方差未知、阈值由同一数据估计或选择规则未记录时，也需要重新建立相应分布。

自测 ​

在零假设下，若某个预先固定的右尾筛选保留概率为 $0.2$，一个被保留观测的普通右尾 p 值为 $0.01$，选择 p 值是多少？答案为 $0.01/0.2=0.05$。若仍对所有被保留结果使用普通 $0.05$ 阈值，条件第一类错误率为 $0.05/0.2=0.25$；这两个计算都针对同一方向的右尾筛选。