零错误信道与混淆图

把信道写成输入到输出的二部支持图。某个输出连着几个输入，就表示接收者单凭这个输出无法判断是哪一个输入。混淆图把每个输出引发的这种冲突压成输入之间的边。

选码字时要避开所有冲突边。两个被选输入只要共享一个可能输出，无论这个输出多罕见，译码器在看到它时都无法同时回答两个不同消息。这就是零错误条件比“错误很少”严格的地方。

五个符号，每个会偏移一步 ​

令输入、输出都是 ${\mathbb{Z}}_5$，且

下标模5。输入0可能输出 $\{0,1\}$，输入1可能输出 $\{1,2\}$，所以0与1冲突；输入0与2的输出集合 $\{0,1\}$、$\{2,3\}$ 不交，可以同时作码字。

全部冲突边恰为 $\{i,i+1\}$，即五边形 $C_5$。选择码字0、2时，输出0或1译为第一条消息，输出2或3译为第二条；输出4在这个码中不会出现，译码表可任意填一个值。

最多只能选两个顶点。若选中一个顶点，沿圆周紧接它的下一个顶点不能选；每个选中点连同其后继形成互不相交的两点组。因此 $2|I|\le 5$，整数 $|I|$ 至多2。结合刚才的码，得到 $\alpha (C_5)=2$。

独立集等价性的两边 ​

必要性：若所选 $x_j,x_k$ 相邻，共同输出 $y$ 必须同时满足 $d(y)=j$ 与 $d(y)=k$，与 $j\ne k$ 矛盾。

充分性：若没有冲突边，所有被选输入的输出支持两两不交。对每个可能输出，译码器返回唯一与它相容的码字；未被任何所选码字覆盖的输出不会真实出现。这样逐个支持点都正确，而不只是平均正确。

与一般信道码公理库信道码Channel code把消息映为信道输入码字并从带噪输出恢复消息的编码—译码对。相比，这里既没有允许一小部分消息出错，也没有允许丢掉一小部分输出。若采用所有消息都有正先验概率的平均错误指标，平均错误恰为零同样迫使每个消息的错误概率为零。

正概率再小，也会形成边 ​

二元对称信道只要交叉概率 $0<p<1$，每个输入都可能输出0和1。两输入之间有边，图为 $K_2$，一次最多传一条消息。任意有限块长的两份输入串也都可能产生任意输出串，因此严格零错误容量为零。

当 $p=0$ 时，两个输出支持突然分离，图变为无边图，可传两条消息。零错误性能对支持的变化可以不连续；把 $p={10}^{-12}$ 当成零，会改掉问题本身。$p=1$ 也是确定的可逆翻转信道，支持同样不混淆。

只要所有正转移概率的位置保持不变，混淆图和无反馈固定长零错误码都不变。把五边形例子的两个概率改成 $0.99,0.01$ 不会增大一次独立数；通常的互信息容量却会改变。

混淆图只记录两两能否共享输出，可能丢失“究竟哪些输入共同对应同一个输出”的高阶信息。无反馈块编码由两两支持相交决定，因此图已经够用；反馈零错误容量公理库反馈下的零错误容量Zero-error feedback capacity保留信道输出的支持超边，用分数打包与对偶证明固定长反馈零错容量；完整解释零容量例外及候选集收缩后的有限收尾。需要保留每个输出的完整相容输入集合。

下一步不能只重复使用一次最优码。强图积与 Shannon 零错误容量公理库Shannon 零错误容量与强图积Shannon capacity of a graph由无记忆支持推导强图积，证明独立数的超乘性及容量极限，并用五个二字码展示联合编码收益。会展示：五边形两次联合使用，竟能传五条消息，超过两个两消息码的四种拼接。