带移入的分枝过程 | Codeboy's Blog

形式陈述

沿用Galton–Watson过程的独立同分布繁殖数组 $\xi_{n,i}$ 。另取独立同分布的非负整数移入数 $I_1,I_2,\ldots$ ，与全部繁殖变量、初始人数 $X_0$ 独立。所有这些计数都有限几乎必然。带移入过程定义为

X_{n+1}=\sum_{i=1}^{X_n}\xi_{n,i}+I_{n+1}. \tag{1}

移入者在第 $n+1$ 代进入人数表，到下一次更新才繁殖。这个时点约定决定了生成函数中移入因子的位置。记

f(s)=\mathbb E s^\xi,\qquad g(s)=\mathbb E s^I, \qquad m=\mathbb E\xi,\quad \eta=\mathbb EI.

给定当前人数 $i$ ，下一代生成函数为 $g(s)f(s)^i$ ；转移只依赖 $i$ ，因而这是时间齐次的可数状态Markov链。若 $G_n(s)=\mathbb E s^{X_n}$ ，则

G_{n+1}(s)=g(s)G_n(f(s)), \qquad G_n(s)=G_0(f^{\circ n}(s)) \prod_{j=0}^{n-1}g(f^{\circ j}(s)). \tag{2}

以下给出一组自足的稳态充分条件：

0\le m<1,\qquad 0\le\eta<\infty. \tag{3}

在此条件下存在唯一的平稳概率分布 $\pi$ ，其生成函数与均值为

G_\pi(s)=\prod_{j=0}^{\infty}g(f^{\circ j}(s)), \qquad \mathbb E_\pi X=\frac\eta{1-m}. \tag{4}

若还假设繁殖方差 $\sigma^2$ 与移入方差 $\tau^2$ 均有限，则平稳方差为

\operatorname{Var}_\pi X =\frac{\sigma^2\eta/(1-m)+\tau^2}{1-m^2}. \tag{5}

从任意有限几乎必然的 $X_0$ 出发，边缘分布都在总变差意义下趋于 $\pi$ ；不必预先假定初始均值有限。若 $X_0=x$ 为固定非负整数，则有可计算的上界

\|\mathcal L_x(X_n)-\pi\|_{\rm TV} \le \min\left\{1,\left(x+\frac\eta{1-m}\right)m^n\right\}. \tag{6}

$m=0$ 时，繁殖数恒零， $X_n=I_n$ 对所有 $n\ge1$ 成立，因此一步后精确平稳；不需把 $n=0$ 的 $0^0$ 代入式(6)。若 $\eta=0$ ，移入恒零，平稳分布退化为零点质量。

直觉

不带移入的次临界家系终会消失，带移入的总体却不断得到新的家系。某一时刻的人数可以按“它的祖先是在几代以前移入”来分组。很久以前移入的家族通常已经灭绝，较近的家族贡献较多；把这些独立家族的剩余人数相加，就能从无限过去构造稳态。

式(4)的无穷乘积并不是凭形式相乘便得到概率分布。要先证明所有历史家族在当前的总贡献有限几乎必然，乘积才确实是某个有限整数随机变量的生成函数。条件(3)使各年代的期望贡献按几何速度下降，正好完成这一步。

平稳仍然允许人数不断变化，也允许各代相关。稳定的是重复观测时的人数分布，不是某一条家系获得永生；外部输入会不断替换已经消失的老家系。

例子与边界

Bernoulli延续与Poisson移入

设每个当前个体独立以概率 $p\in[0,1)$ 在下一代留下一个个体，否则留下零个；另有 $I\sim\operatorname{Pois}(\lambda)$ ， $\lambda>0$ 。因此

f(s)=1-p+ps,\qquad f^{\circ j}(s)=1-p^j+p^js.

使用Poisson分布的生成函数 $g(s)=e^{\lambda(s-1)}$ ，

g(f^{\circ j}(s))=\exp(\lambda p^j(s-1)).

第 $j$ 个移入年代对当前的贡献是参数 $\lambda p^j$ 的Poisson变量；各年代独立。相乘后得到

X_\pi\sim\operatorname{Pois}\left(\frac\lambda{1-p}\right).

由 $\sigma^2=p(1-p),\eta=\tau^2=\lambda$ 代入式(5)，方差也等于 $\lambda/(1-p)$ ，与完整分布一致。

从 $X_0=0$ 出发，只累积了最近 $n$ 个移入年代，故

X_n\sim\operatorname{Pois}\left(\frac{\lambda(1-p^n)}{1-p}\right).

在同一个空间补入遗漏的老家族，所加变量独立且服从 $\operatorname{Pois}(\lambda p^n/(1-p))$ 。因此还可把式(6)改善为

\|\mathcal L_0(X_n)-\pi\|_{\rm TV} \le1-\exp\left(-\frac{\lambda p^n}{1-p}\right). \tag{7}

这是该耦合不相等的概率，通常只给总变差上界，不能无证明地宣称等于总变差本身。

按移入年代分解独立Poisson家族的当前贡献，右侧比较遗漏老家族产生的两条总变差上界；曲线不是精确总变差，十一代是所列认证规则的最小代数 — 移入年代与有限代稳态误差

每代恰好移入一人

保持 $p=1/2$ ，但把Poisson移入改为 $I=1$ 恒定。平稳均值仍为二，然而式(5)给出

\operatorname{Var}_\pi X =\frac{(1/4)\cdot2+0}{1-1/4}=\frac23.

更具体地，每个移入年代只开启一条可能存续的单线家系，所以

X_\pi\overset d=\sum_{j=0}^{\infty}B_j, \qquad B_j\text{相互独立},\quad \Pr(B_j=1)=2^{-j}.

其中 $B_0=1$ 恒定。于是稳态从不取零，显然不是参数二的Poisson分布。相同的平稳均值不能识别移入机制；移入方差在式(5)里有独立的责任。

临界以外的结论不能反推

条件(3)是本页证明使用的充分条件，不是所有移入模型的完整存在性判据。若 $\xi=1$ 恒定、 $I=1$ 恒定，则 $X_n=X_0+n$ ，确实没有平稳概率；但这个例子不能证明所有 $m=1$ 的其他繁殖和移入组合都没有平稳概率。更一般的存在性问题需要对繁殖与移入尾部另加分析。

若 $\Pr(I>0)>0$ ，零态有正概率在下一代离开。因而“不带移入的家系灭绝概率为一”不能被翻译为“这个总体最终永远为零”。本页的独立移入也不包括依赖当前人数的补充政策；若 $I_{n+1}$ 的分布随 $X_n$ 改变，式(2)的乘积和所列均值方差式都要重新推导。

推论与应用

从无限过去构造有限人数

对每个整数 $j\ge0$ ，独立抽取移入人数 $I^{(j)}$ ，并让这批移入者各自开启独立的普通分枝家系。记 $Y_j$ 为这批家系繁殖 $j$ 代后的总人数； $Y_0=I^{(0)}$ 。不同 $j$ 使用相互独立的全部随机源，故

\mathbb EY_j=\eta m^j, \qquad \mathbb E s^{Y_j}=g(f^{\circ j}(s)).

由单调收敛定理，

\mathbb E\sum_{j\ge0}Y_j =\sum_{j\ge0}\eta m^j=\frac\eta{1-m}<\infty.

非负整数和若以正概率无限，其期望就无限，所以 $Y=\sum_{j\ge0}Y_j$ 有限几乎必然。有限部分和的生成函数是有限乘积；令部分和趋于 $Y$ ，得到式(4)。这一步也说明乘积在 $s=1$ 的值为一，而非某个质量不足的形式极限。

让这些家系再繁殖一代，会把年代 $j$ 移到 $j+1$ ；另添一批新的独立移入者，补上年代零。新的总人数分布仍为 $Y$ 。因此 $\pi=\mathcal L(Y)$ 在一次转移后不变，确实是平稳分布。等价的生成函数核验是 $G_\pi(s)=g(s)G_\pi(f(s))$ 。

矩计算先确认可积性

从零初始出发，用全期望与全方差公式，设 $a_n=\mathbb EX_n,v_n=\operatorname{Var}X_n$ ，则

a_{n+1}=ma_n+\eta, \qquad v_{n+1}=m^2v_n+\sigma^2a_n+\tau^2, \qquad a_0=v_0=0. \tag{8}

因 $a_n\le\eta/(1-m)$ ，有限方差假设使

v_n\le \frac{\sigma^2\eta/(1-m)+\tau^2}{1-m^2}.

而 $X_n$ 的分布，正是上一段独立家族和 $Y_0+\cdots+Y_{n-1}$ 的分布。这些部分和在同一空间递增，且二阶矩统一有界；单调收敛确认 $Y$ 二阶矩有限。此后在式(8)中传极限，才合法得到式(5)。这避免在未知稳态方差是否有限时直接解一个形式方差方程。

老祖先耦合给出收敛和唯一性

在同一个空间启动两条过程，共用每代的移入人数。若某时刻人数分别为 $a,b$ ，让前 $\min(a,b)$ 个个体使用相同的繁殖样本，多出来的 $|a-b|$ 个个体另外使用独立样本。各条过程内部仍有正确的独立繁殖边缘，所以这是保持原转移核的耦合。

两过程的人数差的绝对值，恰按不带移入的普通分枝规律繁殖；移入项相消。若初始差为 $d$ ，第 $n$ 代差的期望为 $dm^n$ ，且两过程一旦相同，之后保持相同。整数差非零至少为一，故不相等概率至多为 $dm^n$ 。

让其中一条从上述平稳 $Y$ 启动，另一条从固定 $x$ 启动。初始差不超过 $x+Y$ ，所以

\Pr(X_n\ne Y_n) \le m^n\mathbb E|x-Y| \le m^n\left(x+\frac\eta{1-m}\right).

耦合不等式立即给出式(6)。

若初始差 $D$ 有限几乎必然但均值可能无穷，固定整数 $K$ ，仍有

\Pr(X_n\ne Y_n)\le\Pr(D>K)+K m^n.

先令 $n\to\infty$ ，再令 $K\to\infty$ ，得到总变差收敛。最后，若还有另一个平稳概率 $\pi'$ ，让第一条从 $\pi'$ 启动；其任意时刻分布始终为 $\pi'$ ，上述距离却趋零，故 $\pi'=\pi$ 。这个证明无需假定所有状态互相可达，因而也覆盖确定移入或零移入等可约情形。

对需要稳态近似的任务，应交代初始状态、允许误差和采用的耦合界，再决定模拟多少代。只报告 $\pi$ 的公式，并不能说明从指定初始状态已经足够接近平稳。

参考资料

Péter Kevei与Péter Wiandt，Moments of the stationary distribution of subcritical multitype Galton–Watson processes with immigration，2020作者稿，pp.1–3，式(1)、(4)，独立移入模型与历史家族表示；本页单独证明单类型有限一、二阶矩合同。
C. R. Heathcote，A Branching Process Allowing Immigration，Journal of the Royal Statistical Society, Series B27(1)，1965，138–143，原始模型书目。
E. Seneta，The Stationary Distribution of a Branching Process Allowing Immigration: A Remark on the Critical Case，Journal of the Royal Statistical Society, Series B30(1)，1968，176–179，临界边界的进一步阅读；本页不以次临界充分条件代替完整存在性分类。

形式陈述 ​

Bernoulli延续与Poisson移入 ​

每代恰好移入一人 ​

临界以外的结论不能反推 ​

从无限过去构造有限人数 ​

矩计算先确认可积性 ​

老祖先耦合给出收敛和唯一性 ​