B-级数与根树阶条件

根的子节点数告诉我们对 $f$ 求几阶导数，子树告诉我们往导数中放什么。三节点链对应 $f^{\prime }(f^{\prime }f)$，一根接两个叶子的树对应 $f^{″}(f,f)$；两者节点数相同，微分结构不同。

由多元 Taylor 展开公理库多元 Taylor 定理Multivariable Taylor theorem用各阶导数给出多元函数的局部多项式展开及余项控制。，精确流到三阶为

链的 $\gamma =6,\sigma =1$，双叶树的 $\gamma =3,\sigma =2$，都产生 $1/6$，但对数值方法必须分别匹配，不能只比较一个三阶总数。

从树得到 RK 三阶条件 ​

对RK 方法公理库Runge–Kutta 方法Runge-Kutta method · RK method用一步内多个相互依赖的 stage 统一显式与隐式 Runge–Kutta 方法，并以 Butcher tableau、阶条件和稳定函数刻画结构。记 $c=A\mathbf{1}$，从阶段展开可得前三阶条件

最后两个分别对应双叶树和三节点链。显式中点的 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1/2& 0\end{array}\right)$、$b=(0,1{)}^{\mathsf{T}}$、$c=(0,1/2{)}^{\mathsf{T}}$ 满足前两式；但 $b^{\mathsf{T}}(c\odot c)=1/4$、$b^{\mathsf{T}}Ac=0$，两条三阶条件都不成立，所以一般只有二阶。

若只用线性测试方程 $f(y)=\lambda y$，则 $f^{″}=0$，所有分叉树的初等微分都消失。某个方法即使在线性问题上表现为高阶，也可能没有通过非线性分叉树条件。这是单一测试方程不能认证一般阶数的原因。

计算高阶条件时，枚举目标阶数以内的非同构根树，递归计算阶段权重，与 $1/\gamma$ 比较。固定一棵树时可复用子树结果；真正增长的成本来自树的数量随阶数迅速增加。软件计算能辅助验证系数，树的归一化约定仍须与公式一致。

B-级数还组织方法复合与修正方程，但并非所有几何积分器都由普通 B-级数表示。分裂、约束及特殊流形结构可能需要扩展的代数对象。

单元练习：四种结构分别核验 ​

对谐振子取 $h=1/2$。写出显式 Euler、先动量后位置的辛 Euler 与隐式中点矩阵，检查辛性、能量和可逆性，再解释修正方程的首项。另用 RATTLE 处理单位圆初值 $(q,p)=((1,0),(0,1))$、步长 $0.2$。

三个矩阵分别为 $E=\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ -1/2& 1\end{array}\right)$、$S=\left(\begin{array}{cc}3/4& 1/2\\ -1/2& 1\end{array}\right)$、$M=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{cc}15& 8\\ -8& 15\end{array}\right)$。二维恒等式给出 $E^{\mathsf{T}}JE=(5/4)J$，而 $S^{\mathsf{T}}JS=M^{\mathsf{T}}JM=J$。

显式 Euler 每步能量乘 $5/4$。辛 Euler 保持 $\tilde{H}=(q^2+p^2-qp/2)/2$，通常不保持原圆形能量，也不自身时间对称。隐式中点满足 $M^{\mathsf{T}}M=I$，本例同时保辛、保能量、可逆，却仍有相位误差。显式 Euler 的修正向量场首项为 $f-(h/2)f^{\prime }f$；在 $f(y)=Ay,A^2=-I$ 时是 $Ay+(h/2)y$，显示人为向外增长。

RATTLE 的答案为 $q_{+}=(\sqrt{0.96},0.2)$、$p_{+}=(-0.2,\sqrt{0.96})$，位置范数一、内积零。验收须逐项说清：保辛蕴含保体积，逆命题在高维不成立；时间对称性涉及 ${\mathrm{\Phi }}_{-h}={\mathrm{\Phi }}_h^{-1}$；保能量只约束某个标量水平集；形式修正方程通常通过有限截断获得误差解释。