RATTLE 约束积分器

位置约束规定“落点在哪里”，切向约束规定“从这个落点朝哪里出发”。仅把位置投到球面，却保留朝球面外的速度，下一步立刻又会漂离。RATTLE 在两个不同时间位置上校正这两种误差。

图中取 $h=0.6$：红色空心点是未经约束的漂移候选，位置校正使落点回到圆上，动量校正使绿色方向与新位置的半径垂直。图示坐标为 $q_{+}=(0.8,0.6)$、$p_{+}=(-0.6,0.8)$；下面另以 $h=0.2$ 核验同一公式。

第二次校正还有一个真正的优化解释。记 $\tilde{p}=p_{n+1/2}-(h/2)\mathrm{\nabla }V(q_{n+1})$，固定 $G=G(q_{n+1})$，求

由Lagrange 乘子条件公理库拉格朗日乘子法Lagrange multiplier method约束极值处目标梯度位于约束梯度张成空间中的必要条件。，校正方向属于 $\mathrm{im}{G}^{\mathsf{T}}$。写成 $P=\tilde{p}-(h/2)G^{\mathsf{T}}\mu$ 后，约束恰给出

$G$ 满行秩且 $M\succ 0$ 时 Gram 矩阵正定；严格凸二次目标因此有唯一的约束最小点。这证明的是第二次动量校正的质量度量投影，不是把第一个非线性位置方程无条件当成同一个最优化问题。

在标准条件和精确约束求解下，RATTLE 是二阶、时间对称的约束辛方法。辛性针对约束相空间上的相应结构，而非随意扩展到全部无约束坐标的一张方阵。

单位圆上自由运动的一步 ​

取 $M=I,V=0$，$g(q)=(\Vert q{\Vert }^2-1)/2$，初值 $q=(1,0)$、$p=(0,1)$。对 $0<h<1$，记 $s=\sqrt{1-h^2}$。第一步位置约束选择邻近解支，给出

第二次投影使用 $\mu =2(1-s)/h^2$，得到 $p_{+}=(-h,s)$。直接核验 $\Vert q_{+}{\Vert }^2=1$，且 $q_{+}^{\mathsf{T}}{p}_{+}=-sh+hs=0$，两项约束同时成立。

取 $h=0.2$，$q_{+}\approx (0.9797959,0.2)$，$p_{+}\approx (-0.2,0.9797959)$。若只更新位置，半步动量与新位置的内积为 $(1-s)/h>0$，仍有法向分量，说明第二组乘子不可省略。本例最终动量模长也恰为一，但一般有势能的 RATTLE 不逐步精确保能量。

实施时先核验初值的两项约束，迭代求位置乘子，再解切向乘子。每步保存位置残差 $\Vert g(q)\Vert$ 与速度残差 $\Vert G{M}^{-1}p\Vert$，并分别设定符合量纲的容差。$m$ 个约束的稠密乘子线性求解约为 $O(m^3)$，每次位置迭代还需约束及 Jacobian 评值。

约束之间接近相关时，Gram 矩阵 $G{M}^{-1}{G}^{\mathsf{T}}$ 会病态。较大步长也可能使位置方程出现多个解支或无邻近解。应缩小步长、改善约束表示或求解精度，再检查反向一步能否返回原状态。