数值稳定性

后向稳定算法给计算结果一份可追溯说明：它也许没有精确解原题，却精确解了一道只被机器精度轻轻移动过的题。若附近问题的答案彼此接近，结果便可信；若原问题病态，邻近题的真解也可能相距很远，稳定算法仍无法创造输入中没有的有效数字。

这种解释比逐步追踪每个舍入误差更有整体感。局部误差可以在中间量上抵消或放大，后向分析则直接问最终结果能否回收到一个小的数据扰动。不过，小扰动必须属于问题认可的集合，否则“邻近问题”可能已经改变了物理或代数结构。

本页稳定性衡量计算过程面对舍入和输入微扰时是否给出邻近问题的可靠答案；平衡点稳定性理路平衡点稳定性Stability of an equilibrium初值受到小扰动时轨道保持接近或最终回到平衡点的性质。衡量连续动力系统受状态扰动后是否留在或回到平衡点附近。名称相同，受扰对象与时间语义完全不同。

计算 $\sqrt{x^2+y^2}$ 时，直接先平方可能在真实结果仍可表示时发生中间溢出。缩放算法令 $m=max(|x|,|y|)$，在 $m\ne 0$ 时计算

避免巨大中间量。在 binary64 中取 $x=y={10}^{308}$，直接路径的 $x^2+y^2$ 溢出为 $+\mathrm{\infty }$，而缩放路径得到约 $1.4142135623730951\times {10}^{308}$，仍低于最大有限数。两个表达式在实数中相等，有限精度路径却不同；稳定重写保护了算法，没有改变问题的条件数。实际库函数 hypot 还要处理无穷、NaN、次正规数和极端比例，不能只复制这条公式便宣称语义等价。

对至少有一列的满列秩 $A$，精确正规矩阵满足 ${\kappa }_2(A^{\ast }A)={\kappa }_2(A{)}^2$，这是恒等式而非近似。浮点形成矩阵还会另加舍入扰动；当 ${\kappa }_2(A{)}^{2}u$ 不小时，仅提高后续线性求解精度也不能恢复形成矩阵时丢失的信息。正交变换 QR 避免这一中间平方，通常具有更好的后向稳定解释。两种算法解决同一数学问题，差别来自中间问题和舍入传播；不能因为正规方程在精确算术下代数正确，就宣称实现同样可靠。

反过来，后向稳定也不保证所有输出分量都有小相对误差。病态问题会放大输入扰动，极小或精确为零的分量还需要逐分量或绝对尺度。某个特殊输入上得到很小前向误差，也不足以证明算法后向稳定：偶然准确没有提供对邻近输入和全部执行路径的统一保证。

“稳定”在其他领域还有不同对象。动力系统的平衡稳定研究连续轨道，ODE 绝对稳定研究离散测试方程的放大因子，多步法零稳定研究扰动模式，PDE 格式稳定研究离散演化算子；它们都不能与本页的有限精度算法稳定性互换。

前向与后向误差理路前向误差与后向误差Forward and backward error分别衡量计算答案离真解多远，以及它能否视为邻近输入问题的精确解。给出稳定性的度量语言，消去误差与稳定重写理路消去误差与稳定重写Cancellation and stable reformulation · Catastrophic cancellation解释相近量相减为何会放大已有误差，并用等价公式、缩放和专用函数改造有限精度计算路径。展示局部公式怎样破坏或恢复稳定路径，矩阵分解页面则会陈述其计算因子究竟对应哪个邻近矩阵。算法稳定性结论应落到可检查的不等式，而不是停在“行业通常认为稳定”的经验判断。

实践中，可靠性报告至少要同时给出问题条件估计、可计算残差或后向误差，以及实现采用的精度和异常处理。主元与增长因子理路主元选取与增长因子Pivoting · Growth factor · Partial pivoting通过行列置换限制消元乘子和中间元素增长，并把主元策略与 LU 的有限精度后向误差联系起来。展示这一链条在线性消元中的具体形态：增长控制后向误差，矩阵条件数再决定前向精度。只有前向结果、问题敏感性和算法误差放在一起，才能判断丢失的数字来自数据、方法还是执行环境。